엡슈타인 제타함수

개요

• 실해석적 아이젠슈타인 급수의 특수한 경우
• 라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌

이차형식과 제타함수

• \(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)에 대하여, \(|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2\)

• 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\)이고 \(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}\]

• \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
• 실해석적 아이젠슈타인 급수과 다음과 같은 관계

\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\] \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]

정리

\(\zeta_Q(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개는 다음과 같다 \[ \begin{aligned} \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) \end{aligned} \] 여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\]

• 크로네커 극한 공식 참조

따름정리

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\ {} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\} \end{aligned} \] 여기서 \(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

라마누잔 class invariants 와의 관계

• 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\] 여기서 \(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\) \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]

• 라마누잔의 class invariants 참조

관련된 항목들

• 크로네커 극한 공식
• Chowla-셀베르그 공식
• 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수

수학용어번역

• Epstein - 발음사전 Forvo

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
• https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Epstein
• http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html

관련논문

• Baier, Stephan, Srinivas Kotyada, and Usha Keshav Sangale. “A Note on the Gaps between Zeros of Epstein’s Zeta-Functions on the Critical Line.” arXiv:1602.06069 [math], February 19, 2016. http://arxiv.org/abs/1602.06069.
• Andersson, Johan, and Anders Södergren. “On the Universality of the Epstein Zeta Function.” arXiv:1508.05836 [math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05836.
• A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula
  • Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
• A systematic approach to the evaluation of \(\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}\)
  • I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
• On Epstein's Zeta-function
  • S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
• On Epstein's Zeta Function (I)
  • S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
• On Epstein's Zeta Function
  • Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593

메타데이터

위키데이터

• ID : Q7301121

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]