실해석적 아이젠슈타인 급수

수학노트
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개요

  • <math>\Re(s)>1</math>, <math>\Im(\tau)>0</math>인 복소수 <math>s,\tau=x+iy </math>에 대하여, 다음을 정의
<math>

\begin{align} E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\ &=\sum_{\gamma\in \Gamma/\Gamma_{\infty}}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s \end{align} </math> 여기서 <math>\Gamma=SL(2,\mathbb{Z})</math>, <math>\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in \Gamma|\gamma \infty=\infty\}</math>,

해석적 확장

  • <math>s>1</math>에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, <math>s=1</math>에서만 단순 폴을 가진다


크로네커 극한 공식

<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)</math>

여기서 <math>\gamma</math> 는 오일러상수, 감마, <math>\eta(\tau)</math>는 데데킨트 에타함수



함수방정식

  • <math>\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)</math>로 두면, 다음을 만족한다
<math>

\xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) </math>


마스 형식(Maass form)

<math>\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)</math>
  • 라플라시안 <math>\Delta</math>의 고유벡터
<math>\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)</math>
  • 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다


관련된 항목들


수학용어번역

  • analytic - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료


관련논문

  • Lagarias, Jeffrey C., and Robert C. Rhoades. “Polyharmonic Maass Forms for PSL(2, Z).” arXiv:1508.02652 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02652.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]
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