"교대다항식(alternating polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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==분할과 행렬식==
 
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*  반데몬드 행렬<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  1 & 1 & 1 \end{array} \right)</math><br>
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*  반데몬드 행렬:<math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  1 & 1 & 1 \end{array} \right)</math>
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*  5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)</math><br>
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*  5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다:<math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)</math>
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*  일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\  x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)</math><br>
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*  일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다:<math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\  x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)</math>
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* 일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬 $\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}$을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
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* 일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬 <math>\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}</math>을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
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==인수분해에의 응용==
 
==인수분해에의 응용==
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* <math>f/V</math> 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여  <math>f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c</math> 꼴로 쓰여진다
 
* <math>f/V</math> 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여  <math>f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c</math> 꼴로 쓰여진다
 
* <math>A=-1,B=2,C=-1</math> 이다
 
* <math>A=-1,B=2,C=-1</math> 이다
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* $-f/V=a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 +  
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* <math>-f/V=a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 +  
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  b c^2 + c^3$는 [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]의 예이며 $h_3(a,b,c)$로 표현된다
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  b c^2 + c^3</math>는 [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]의 예이며 <math>h_3(a,b,c)</math>로 표현된다
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* $f(a,b,c)$와 $-V(a,b,c)$는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다
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** <math>a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 +
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b c^2 + c^3</math> 가 기약인지에 대해서는 [http://mathoverflow.net/questions/98043 Is complete homogeneous symmetric polynomials, an irreducibile element in Polynomial ring?]
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* <math>f(a,b,c)</math>와 <math>-V(a,b,c)</math>는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다
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f(a,b,c)=
 
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* $-f/V=s_{\{3,0,0\}}(a,b,c)$는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]의 예이다
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* <math>-f/V=s_{\{3,0,0\}}(a,b,c)</math>는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]의 예이다
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==역사==
 
==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
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* [http://www.math.jussieu.fr/%7Eromagny/notes/FTAF.pdf http://www.math.jussieu.fr/~romagny/notes/FTAF.pdf]
 
* [http://www.math.jussieu.fr/%7Eromagny/notes/FTAF.pdf http://www.math.jussieu.fr/~romagny/notes/FTAF.pdf]
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTI2MmZmMDItYmE2YS00OGE3LWFhOGUtY2ViZGQzNTg3MTE3&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTI2MmZmMDItYmE2YS00OGE3LWFhOGUtY2ViZGQzNTg3MTE3&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일]
 
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_polynomial
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_polynomial
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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[[분류:대칭다항식]]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q4736415 Q4736415]
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===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:59 기준 최신판

개요



교대다항식의 예

  • \(\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)
  • \(x_1x_2x_3\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)


분할과 행렬식

  • 반데몬드 행렬\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\]
  • 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)\]
  • 일반적으로 parts가 3인 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0\)에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\]
  • 일반적으로 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 \(\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}\)을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

인수분해에의 응용

  • \(f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)\)의 인수분해
    • 이 문제는 '알파테크닉 난제수학'이라는 고교생용 수학참고서(일본 본고사 유형의 문제들)에 있던 것이다
  • 교대식이므로, \(V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)\) 를 인수로 갖는다
  • \(f/V\) 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여 \(f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c\) 꼴로 쓰여진다
  • \(A=-1,B=2,C=-1\) 이다
  • \(-f/V=a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 + b c^2 + c^3\)는 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 예이며 \(h_3(a,b,c)\)로 표현된다
  • \(f(a,b,c)\)와 \(-V(a,b,c)\)는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다

\[ f(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^5 & b^5 & c^5 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ -V(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]


역사



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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