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− | * 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다 | + | * 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다:<math>\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)</math> |
− | * 일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다 | + | * 일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다:<math>\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)</math> |
− | * 일반적으로 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math> 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 | + | * 일반적으로 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math> 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 <math>\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}</math>을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다 |
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* <math>A=-1,B=2,C=-1</math> 이다 | * <math>A=-1,B=2,C=-1</math> 이다 | ||
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− | b c^2 + c^3 | + | b c^2 + c^3</math>는 [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]]의 예이며 <math>h_3(a,b,c)</math>로 표현된다 |
− | ** | + | ** <math>a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 + |
− | b c^2 + c^3 | + | b c^2 + c^3</math> 가 기약인지에 대해서는 [http://mathoverflow.net/questions/98043 Is complete homogeneous symmetric polynomials, an irreducibile element in Polynomial ring?] |
− | * | + | * <math>f(a,b,c)</math>와 <math>-V(a,b,c)</math>는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다 |
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* [http://www.math.jussieu.fr/%7Eromagny/notes/FTAF.pdf http://www.math.jussieu.fr/~romagny/notes/FTAF.pdf] | * [http://www.math.jussieu.fr/%7Eromagny/notes/FTAF.pdf http://www.math.jussieu.fr/~romagny/notes/FTAF.pdf] | ||
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial | * http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial | ||
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+ | ===위키데이터=== | ||
+ | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4736415 Q4736415] | ||
+ | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
+ | * [{'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'polynomial'}] |
2021년 2월 17일 (수) 04:59 기준 최신판
개요
- 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
- 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다
교대다항식의 예
- \(\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)
- \(x_1x_2x_3\left(x_1-x_2\right) \left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\)
분할과 행렬식
- 반데몬드 행렬\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\]
- 5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)\]
- 일반적으로 parts가 3인 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0\)에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\]
- 일반적으로 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 \(\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}\)을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
인수분해에의 응용
- \(f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)\)의 인수분해
- 이 문제는 '알파테크닉 난제수학'이라는 고교생용 수학참고서(일본 본고사 유형의 문제들)에 있던 것이다
- 교대식이므로, \(V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)\) 를 인수로 갖는다
- \(f/V\) 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여 \(f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c\) 꼴로 쓰여진다
- \(A=-1,B=2,C=-1\) 이다
- \(-f/V=a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 +
b c^2 + c^3\)는 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 예이며 \(h_3(a,b,c)\)로 표현된다
- \(a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 + b c^2 + c^3\) 가 기약인지에 대해서는 Is complete homogeneous symmetric polynomials, an irreducibile element in Polynomial ring?
- \(f(a,b,c)\)와 \(-V(a,b,c)\)는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다
\[ f(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^5 & b^5 & c^5 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ -V(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
- \(-f/V=s_{\{3,0,0\}}(a,b,c)\)는 슈르 다항식(Schur polynomial)의 예이다
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_polynomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial
메타데이터
위키데이터
- ID : Q4736415
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]