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*  길이가 <math>\ell</math>인 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐 :<math>{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 </math> (여기서 g는 중력가속도)
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*  비선형 [[미분방정식]]이며, 대학수준의 역학에서는 <math>\theta</math>가 0에 매우 가깝다고 가정하고, <math>\sin\theta\approx \theta</math> 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다 :<math>{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0</math> 이 때 단진자의 주기는 <math>2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}</math> 로 주어진다
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*  근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, [[타원적분]] 이 필요하다
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진자의 속도는 <math>{d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}</math> 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.
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:<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta</math>
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여기서 <math>A=\sqrt{1-\cos\theta_0}</math> 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자.
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:<math>\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2</math>
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주기를 구하면,
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:<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi</math>
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<math>A=\sqrt{2}k</math>로 두면,
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:<math>T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi</math>를 얻는다. ■
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==제1종 타원적분과의 관계==
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*  다음과 같이 정의된 적분:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 항목 참조
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[타원적분]]
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
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==관련기사==
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* [http://www.hani.co.kr/arti/culture/religion/144723.html 상대성 이론, 시계에서 태어났다/홍성욱]
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==블로그==
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* Weistern's [http://sciphy.tistory.com/686 Weistern's :: 단진자의 주기 ( 근사식 사용하지 않고, 제대로 )], 2009-5-29
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[[분류:수리물리학]]
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[[분류:미적분학]]
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[[분류:타원적분]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q20702 Q20702]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'pendulum'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:01 기준 최신판

개요

  • 길이가 \(\ell\)인 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐 \[{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \] (여기서 g는 중력가속도)
  • 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\) 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다 \[{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\] 이 때 단진자의 주기는 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 주어진다
  • 근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, 타원적분 이 필요하다




단진자의 주기

  • 진폭이 \(\theta_0\)인 단진자의 주기는 다음과 같다

\[T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi.\] 여기서 \(k=\sin\frac{\theta_0}{2}\)

증명

진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다. \[T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\] 여기서 \(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\) 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자. \[\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\]

그러면, \[\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\] \[\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}\] \[\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\] 를 얻는다.

주기를 구하면, \[T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi\] \(A=\sqrt{2}k\)로 두면, \[T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi\]를 얻는다. ■


제1종 타원적분과의 관계



역사



관련된 항목들




사전 형태의 자료


관련기사



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'pendulum'}]
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