"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 32개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
−
 
 
−
* [[데데킨트 에타함수]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>개요</h5>
 
  
 
* [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]에서 정의된 복소함수
 
* [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]에서 정의된 복소함수
−
*  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br>  <math>q=e^{2\pi i\tau}</math><br>
+
*  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2) :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>이고, <math>\tau\in\mathbb{H}=\{x+iy|x\in \mathbb{R}, y>0\}</math>.
 
* 모듈라 성질을 기술하기 위해 [[데데킨트 합]]이 필요
 
* 모듈라 성질을 기술하기 위해 [[데데킨트 합]]이 필요
−
* [[자연수의 분할수(integer partitions)]] 의 연구에 중요한 역할
+
* [[자연수의 분할수(integer partitions)]] 의 연구에 중요한 역할
 
* 모듈라 성질은 [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]를 이해하는데 중요
 
* 모듈라 성질은 [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]를 이해하는데 중요
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>모듈라 성질</h5>
+
==모듈라 성질==
  
−
*  (정리)<br><math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)</math><br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
+
*  (정리)
−
*  더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
+
:<math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)</math>
 +
:<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math>
 +
더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다
 +
:<math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \sqrt{-i\left(c\tau+d\right)}\eta(\tau) \label{mod}</math>
 +
여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i(c\tau+d)}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택하며 (<math>\Re\left(-i(c\tau+d)\right) >0</math>이다),
 +
:<math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\left(\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\right)</math>
 +
이고 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]].
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>
+
==유리수점(cusp) 근처에서의 변화==
−
 
 
−
* <math>h,k</math>는 서로 소인 자연수<br>
 
−
* <math>y>0</math>가 매우 작을 때<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
 
−
 
 
−
<math>q=e^{-\epsilon}</math> 즉, <math>y=\frac{\epsilon}{2\pi}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때,
 
−
 
 
−
* <math>q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n) \sim \exp(-\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math> 을 얻는다<br>
 
−
 
 
−
 
 
  
 
(정리)
 
(정리)
  
−
<math>q\to 1</math> 일 때,
+
<math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\to 0</math> 일 때,
−
 
+
:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})</math>
−
 
+
−
 
 
−
 
 
  
 
(증명)
 
(증명)
  
−
<math>F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}</math>
+
[[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]에서 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math> 이고 
 +
:<math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})</math>
  
−
<math>\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} \right =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}</math>
+
임을 증명하였다. ■
  
−
<math>1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})</math>  와 <math>0<q<1</math> 을 이용하면,
+
  
−
<math>mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)</math> 이다. 따라서,
+
더 일반적으로, <math>h,k</math>가 서로 소인 자연수일때, <math>q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 이면
 +
:<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k))\right)}{\sqrt{k}}</math>
 +
이 성립한다. 여기서 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]. 이는 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질 \ref{mod}의 결과로 얻어진다
  
−
<math>\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}</math>
 
  
−
q가 1에 가까워질 때, 
+
  
−
<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}</math>,  <math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}</math>
+
==세타함수 형태의 표현==
  
−
이므로,
+
* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]
 +
:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math> 의 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, 다음과 같은 세타함수 표현을 얻는다:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math>
  
−
<math>F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})</math>
 
  
−
■
 
  
−
 
+
==초기하급수 형태의 표현==
  
−
 
+
* [[오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식]]
 +
:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 +
* <math>z=-q</math>로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>
  
−
<h5>세타함수 형태의 표현</h5>
+
  
−
* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br><math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math><br> 에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^k q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br>
+
  
−
 
+
==판별식함수==
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>판별식함수</h5>
 
  
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]]
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]]
−
* 에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이다
+
* 에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이다
 +
:<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
  
−
<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
+
  
−
 
+
  
−
 
+
==special values==
−
 
 
−
<h5>special values</h5>
 
  
 
<math>\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}</math>
 
<math>\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}</math>
102번째 줄: 87번째 줄:
 
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>재미있는 사실</h5>
 
−
 
 
−
 
 
  
−
 
+
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들==
  
 
* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]
 
* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]
118번째 줄: 97번째 줄:
 
* [[분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)|하디-라마누잔 분할수 공식]]
 
* [[분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)|하디-라마누잔 분할수 공식]]
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|discriminant 함수]]
 
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|discriminant 함수]]
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
 
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 +
* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]
 +
* [[자코비 세타함수]]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMExwT1RSUVpBa0U/edit
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function
 
 
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=dedekind+eta
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=dedekind+eta
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
−
 
+
  
−
 
+
==사전 형태의 자료==
  
−
<h5>관련도서</h5>
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
−
 
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function
−
* [http://books.google.com/books?id=lyqDSjLY6zEC Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory]<br>
 
−
** Tom M. Apostol, 1990
 
  
−
* 도서내검색<br>
+
   
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
+
==관련도서==
  
−
 
+
* Tom M. Apostol [http://books.google.com/books?id=lyqDSjLY6zEC Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory], 1990
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
  
−
* [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183533964&page=record Missed opportunities]<br>
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
−
** Freeman J. Dyson, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652.
+
* Freeman J. Dyson [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183533964&page=record Missed opportunities], Bull. Amer. Math. Soc. Volume 78, Number 5 (1972), 635-652.
 +
  
−
 
+
==관련논문==
 +
* Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
  
−
 
 
  
−
<h5>블로그</h5>
+
[[분류:정수론]]
 +
[[분류:특수함수]]
  
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
==메타데이터==
−
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
+
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1182161 Q1182161]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'dedekind'}, {'LOWER': 'eta'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:02 기준 최신판

개요



모듈라 성질

  • (정리)

\[\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)\] \[\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\] 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다 \[\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \sqrt{-i\left(c\tau+d\right)}\eta(\tau) \label{mod}\] 여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i(c\tau+d)}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택하며 (\(\Re\left(-i(c\tau+d)\right) >0\)이다), \[\epsilon(a,b,c,d)=\exp\left(\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\right)\] 이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합.



유리수점(cusp) 근처에서의 변화

(정리)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\to 0\) 일 때, \[\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})\]


(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수)에서 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고 \[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})\]

임을 증명하였다. ■


더 일반적으로, \(h,k\)가 서로 소인 자연수일때, \(q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 이면 \[\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k))\right)}{\sqrt{k}}\] 이 성립한다. 여기서 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합. 이는 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질 \ref{mod}의 결과로 얻어진다



세타함수 형태의 표현

\[\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\] 의 양변에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 다음과 같은 세타함수 표현을 얻는다\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\]


초기하급수 형태의 표현

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

  • \(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다\[\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]



판별식함수

\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]



special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'dedekind'}, {'LOWER': 'eta'}, {'LEMMA': 'function'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=데데킨트_에타함수&oldid=52229"