"사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요

다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 \[u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}\]
양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음\[(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\]
다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
- kink, antikink
- kink-kink
- kink-antikink
- breather

오일러-라그랑지 방정식

라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다

빛원뿔(light cone) 좌표계

변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식 \ref{sgeqn}은 \[u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}\] 로 쓰여진다
미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 상수곡률곡면 에 대한 연구에서도 등장한다

Bäcklund 변환

함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자\[\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\]
함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다\[a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\] 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)

traveling wave solution

\(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
\(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
적분하면 다음을 얻는다.\[\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\]
\(z\to \infty\) 일 때, \( f (z)\to 0\) 와 \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다\[(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\]
이 상미분방정식의 해는\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]

솔리톤 해의 예

kink (soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
antikink (anti-soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
kink-kink collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\]

Breather = coupled kink-antikink\[4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\]\[\omega=1/{\sqrt{2}}\] 인 경우\[4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\]

히로타 bilinear method

\(u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]\)

역사

메모

Pendulum Lattice ,Youtube
Visualizing Solitons ,Youtube
φtt-φxx+sinφ≠Humantt-Humanxx+sin(Human) ,Youtube
soliton-Test3 ,Youtube
http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/11/visualizing-solitary-waves/

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

SOLITONS in the SINE-GORDON Equation Nonlinear Science
Notes on The Sine Gordon Equation David Gablinger, 2007
Caudrey, P. J., J. C. Eilbeck, and J. D. Gibbon. 1975. “The Sine-Gordon Equation as a Model Classical Field Theory.” Il Nuovo Cimento B Series 11 25 (2) (February 1): 497–512. doi:10.1007/BF02724733.

메타데이터

위키데이터

ID : Q2558473

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'sine'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
[{'LOWER': 'sine'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]

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 ==개요==
-*  다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 :<math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}</math><br>
+*  다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 :<math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}</math>
-*  양자장론에 등장하는 [[클라인-고든 방정식]]에서 이름이 붙음<br><math>(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0</math><br>
+*  양자장론에 등장하는 [[클라인-고든 방정식]]에서 이름이 붙음:<math>(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0</math>
-*  다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐<br>
+*  다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
 ** kink, antikink
 ** kink-kink
 ** kink-antikink
 ** breather
 ==오일러-라그랑지 방정식==
-*  라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math>  에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]<br><math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math>   을 적용하여 얻어진다<br>
+*  라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math>  에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]:<math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math>   을 적용하여 얻어진다
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 ==빛원뿔(light cone) 좌표계==
+* 변수 <math>\xi=\frac{t+x}{2}</math>, <math>\eta=\frac{-t+x}{2}</math>  를 도입하면, 사인-고든 방정식 \ref{sgeqn}은 :<math>u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}</math> 로 쓰여진다
+* 미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 [[상수곡률곡면과 사인-고든 방정식|상수곡률곡면]] 에 대한 연구에서도 등장한다
-* 변수 <math>\xi=\frac{t+x}{2}</math>, <math>\eta=\frac{-t+x}{2}</math>  를 도입하면, 사인-고든 방정식은 :<math>u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}</math> 로 쓰여진다<br>
-* 미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 [상수곡률곡면과 사인-고든 방정식|상수곡률곡면] 에 대한 연구에서도 등장한다
 ==Bäcklund 변환==
-*  함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자<br><math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math><br>
+*  함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자:<math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math>
 * 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
-*  해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다<br><math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
+*  해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다:<math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
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 * <math>u(x,t)=f(x-vt)</math> 라 두자.
 * u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f''-f''+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다.
-*  적분하면 다음을 얻는다.<br><math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math><br>
+*  적분하면 다음을 얻는다.:<math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math>
-* <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와  <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다<br><math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math><br>
+* <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와  <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다:<math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math>
-*  이 상미분방정식의 해는<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
+*  이 상미분방정식의 해는:<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
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 ==솔리톤 해의 예==
-*  kink (soliton)<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
+*  kink (soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
-*  antikink (anti-soliton)<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
+*  antikink (anti-soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>
-*  kink-kink collison '''[PS1962]'''<br><math>u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br>
+*  kink-kink collison '''[PS1962]''':<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]</math>
-*  kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]'''<br><math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br>
+*  kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]''':<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math>
-*  Breather = coupled kink-antikink<br><math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega  \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math><br><math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우<br><math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math><br>
+*  Breather = coupled kink-antikink:<math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega  \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math>:<math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우:<math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math>
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 <math>u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]</math>
 ==역사==
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
 ==메모==
-* [http://www.youtube.com/watch?v=HbHOkZnYx6w Pendulum Lattice] ,Youtube<br>
+* [http://www.youtube.com/watch?v=HbHOkZnYx6w Pendulum Lattice] ,Youtube
-* [http://www.youtube.com/watch?v=Ud7STKWNmQw Visualizing Solitons] ,Youtube<br>
+* [http://www.youtube.com/watch?v=Ud7STKWNmQw Visualizing Solitons] ,Youtube
-* [http://www.youtube.com/watch?v=rVH1G6sXQSA&feature=related φtt-φxx+sinφ≠Humantt-Humanxx+sin(Human)] ,Youtube<br>
+* [http://www.youtube.com/watch?v=rVH1G6sXQSA&feature=related φtt-φxx+sinφ≠Humantt-Humanxx+sin(Human)] ,Youtube
-* [http://www.youtube.com/watch?v=SAbQ4MvDqEE soliton-Test3] ,Youtube<br>
+* [http://www.youtube.com/watch?v=SAbQ4MvDqEE soliton-Test3] ,Youtube
-* http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/11/visualizing-solitary-waves/<br>
+* http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/11/visualizing-solitary-waves/
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 ==관련된 항목들==
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 * [[양자 사인-고든 모형(안창림)]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDk4NzY3ZTMtZmEwNS00NTAxLTllOTAtMDFhMDNkNjNmOTdk&sort=name&layout=list&num=50
-* http://demonstrations.wolfram.com/SystemOfPendulumsARealizationOfTheSineGordonModel/<br>
+* http://demonstrations.wolfram.com/SystemOfPendulumsARealizationOfTheSineGordonModel/
-* [http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/ http://physics.ucsc.edu/~peter/250/mathematica/]<br>
+* [http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/ http://physics.ucsc.edu/~peter/250/mathematica/]
-** http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/sinegordon.nb<br>
+** http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/sinegordon.nb
-* [http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/sinegordon.nb.pdf The Sine Gordon Equation]<br>
+* [http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/sinegordon.nb.pdf The Sine Gordon Equation]
-* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
-==수학용어번역==
-*  단어사전<br>
-** http://translate.google.com/#en|ko|
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=%EB%BF%94 http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=뿔]<br>
-* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==사전 형태의 자료==
-==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EC%9D%B8-%EA%B3%A0%EB%93%A0 http://ko.wikipedia.org/wiki/사인-고든]
@@ 135번째 줄: / 112번째 줄: @@
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A4cklund_transform http://en.wikipedia.org/wiki/Bäcklund_transform]
 * [http://eom.springer.de/s/s085500.htm Sine-Gordon equation,] Springer, L.A. Takhtadzhyan
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 * [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
+** http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde2106.pdf
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-* [http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285946.pdf SOLITONS in the SINE-GORDON Equation] Nonlinear Science<br>
+* [http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285946.pdf SOLITONS in the SINE-GORDON Equation] Nonlinear Science
 * [http://www.rz.uni-karlsruhe.de/%7Eae70/SOLIT_WAVES/SGEhandout4.pdf Notes on The Sine Gordon Equation] David Gablinger, 2007
+* Caudrey, P. J., J. C. Eilbeck, and J. D. Gibbon. 1975. “The Sine-Gordon Equation as a Model Classical Field Theory.” Il Nuovo Cimento B Series 11 25 (2) (February 1): 497–512. doi:10.1007/BF02724733.
 ==관련논문==
+* C. Adam, M. Haberichter, A. Wereszczynski, The volume of a soliton, arXiv:1511.01104 [hep-th], November 03 2015, http://arxiv.org/abs/1511.01104, 10.1016/j.physletb.2016.01.009, http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2016.01.009, Phys. Lett. B754 (2016) 18-25
-* Classical and quantum kink scattering [http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213%2893%2990243-I http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I]
+* Widmer, Yannick. “On the Integrability of the Sine-Gordon Equation.” arXiv:1508.06123 [math-Ph], August 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06123.
+* Kotlarov, V. P. 2014. “Finite-Gap Solutions of the Sine-Gordon Equation.” arXiv:1401.4410 [nlin]. http://arxiv.org/abs/1401.4410.
+* Zarmi, Yair. “Sine-Gordon Equation in Higher Dimensions: A Fresh Look at Integrability.” arXiv:1405.0154 [nlin], May 1, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.0154.
+* Sutcliffe, Paul M. 1993. “Classical and Quantum Kink Scattering.” Nuclear Physics B 393 (1–2) (March 22): 211–224. doi:10.1016/0550-3213(93)90243-I.
 * Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. <em>Journal of the Physical Society of Japan</em> 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
 * Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. <em>Journal of the Physical Society of Japan</em> 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
 * '''[PS1962]'''[http://dx.doi.org/10.1016/0029-5582%2862%2990774-5 A model unified field equation] J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+==관련도서==
-* http://www.ams.org/mathscinet
-* http://dx.doi.org/
+* [http://www.amazon.com/Waves-Called-Solitons-Concepts-Experiments/dp/3540605029 Waves Called Solitons: Concepts and Experiments] chapter 6
-==관련도서==
+[[분류:적분가능모형]]
-* [http://www.amazon.com/Waves-Called-Solitons-Concepts-Experiments/dp/3540605029 Waves Called Solitons: Concepts and Experiments] chapter 6
+==메타데이터==
-*  도서내검색<br>
+===위키데이터===
-** http://books.google.com/books?q=
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2558473 Q2558473]
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'sine'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
+* [{'LOWER': 'sine'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]

"사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

목차

개요

오일러-라그랑지 방정식

빛원뿔(light cone) 좌표계

Bäcklund 변환

traveling wave solution

솔리톤 해의 예

히로타 bilinear method

역사

메모

관련된 항목들

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