"순환군"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:49 기준 최신판

개요

하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
- \((\mathbb Z,+)\) 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
- 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
- \(z^n=1\) 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
  - \(\zeta=e^{2\pi i \over n}\) 으로 생성가능.
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) 는 순환군임
- \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조

순환군의 부분군

(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 \(\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots\)

따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (\(\log_a g\) 로 생각할 수 있음)

항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 \(d\) 로 두자.

H의 원소 \(a^k\) 에 대하여, \(k=dq+r, 0\leq r < d\) 를 사용하면, \(a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r\) 형태로 쓸 수 있다.

H는 부분군이므로, \(a^r=(a^d)^{-q}a^k\) 는 H의 원소이다. \(d\)의 정의에 따라, \(r\) 은 0이어야 한다.

그러므로, 모든 H의 원소는 \(a^d\) 로 생성가능하다. ■

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q245462

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'cyclic'}, {'LEMMA': 'group'}]
[{'LEMMA': 'ℤ/nℤ'}]
[{'LEMMA': 'ℤn'}]
[{'LOWER': 'monogenous'}, {'LEMMA': 'group'}]

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-<h5>간단한 소개</h5>
+==개요==
-*  하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.<br>
+*  하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
 ** <math>(\mathbb Z,+)</math> 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
 ** 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
-** <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨<br>
+** <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
-*** <math>\zeta=e^{2\pi i \over n</math> 으로 생성가능.
+*** <math>\zeta=e^{2\pi i \over n}</math> 으로 생성가능.
 ** <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)</math> 는 순환군임
 ** <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 가 순환군이 되는 경우는 [[원시근(primitive root)]] 항목을 참조
+==순환군의 부분군==
-<h5>순환군의 부분군</h5>
 (정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.
 (증명)
-H 가 G의 부분군이라고 하자.  a는 G의 생성원이라고 하자.
+H 가 G의 부분군이라고 하자.  a는 G의 생성원이라고 하자.
-G의 원소는 <math>\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots</math>
+G의 원소는 <math>\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots</math>
 따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (<math>\log_a g</math> 로 생각할 수 있음)
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 항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자.
-H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여,  <math>k=dq+r, 0\leq r < d</math> 를 사용하면, <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math> 형태로 쓸 수 있다.
+H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여,  <math>k=dq+r, 0\leq r < d</math> 를 사용하면, <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math> 형태로 쓸 수 있다.
+H는 부분군이므로,  <math>a^r=(a^d)^{-q}a^k</math> 는 H의 원소이다. <math>d</math>의 정의에 따라, <math>r</math> 은 0이어야 한다.
+그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. ■
+==메모==
+* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-H는 부분군이므로,  <math>a^r=(a^d)^{-q}a^k</math> 는 H의 원소이다. <math>d</math>의 정의에 따라, <math>r</math> 은 0이어야 한다.
-그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. □
+==관련된 항목들==
+* [[유한생성 아벨군의 기본정리]]
+* [[순환군과 유한아벨군의 표현론]]
-<h5>참고할만한 자료</h5>
+==사전형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%9C%ED%99%98%EA%B5%B0 http://ko.wikipedia.org/wiki/순환군]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_groups
 * http://viswiki.com/en/Cyclic_groups
+[[분류:군론]]
-*
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q245462 Q245462]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'cyclic'}, {'LEMMA': 'group'}]
+* [{'LEMMA': 'ℤ/nℤ'}]
+* [{'LEMMA': 'ℤn'}]
+* [{'LOWER': 'monogenous'}, {'LEMMA': 'group'}]