"원의 방정식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

원은 평면에서 주어진 한 점으로부터 거리가 같은 모든 점들의 집합으로 정의된다
2차원 좌표 평면 상에서 이를 점 \((x,y)\)가 만족시키는 방정식으로 표현할 수 있으며, 이를 원의 방정식이라 한다
다음과 같은 두 가지 형태로 표현된다
- 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\) 이 때, \(r>0\)
- 일반형 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 이 때, \({A^{2}}+{B^{2}}-{4C}>0\)
이차곡선(원뿔곡선)의 예이며, 타원의 특별한 경우에 해당

원의 방정식

표준형

원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 \(O(a,b)\)와 \(P(x,y)\)가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다 \[\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\] 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다. \[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\] 위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다.

일반형

이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다. \[x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}\]

우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..

그렇게 하면 \[x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\] 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.

먼저 \(A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}\)로 치환을 해보자.

그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다 \[x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\]

우리는 이 식을 원의 방정식의 일반형이라고 부른다.

응용하기

단위원의 방정식

먼저 표준형에서 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r일경우

원의 방정식은 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다

일반형에서 표준형을 구하기

다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 에서 원의 중심은 다음과 같다 \[(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\] 그리고 이 때 반지름의 길이는 다음과 같이 표현 할수 있다 \[r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.\]

완전제곱식 만들기 항목 참조

메모

역사

수학사 연표
1637 - 데카르트가 방법서설을 출판

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q17278

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'circle'}]
[{'LEMMA': '⭕'}]
[{'LEMMA': '⚪'}]

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 ==개요==
-* 원의 방정식
+* 원은 평면에서 주어진 한 점으로부터 거리가 같은 모든 점들의 집합으로 정의된다
-** 표준형 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math>
+* 2차원 좌표 평면 상에서 이를 점 <math>(x,y)</math>가 만족시키는 방정식으로 표현할 수 있으며, 이를 원의 방정식이라 한다
-** 일반형  <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math>
+* 다음과 같은 두 가지 형태로 표현된다
+** 표준형 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math> 이 때, <math>r>0</math>
+** 일반형 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math> 이 때, <math>{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}>0</math>
+* [[이차곡선(원뿔곡선)]]의 예이며, [[타원]]의 특별한 경우에 해당
 ==원의 방정식==
 ===표준형===
-원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 $O(a,b)$와 $P(x,y)$가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다
+원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 <math>O(a,b)</math>와 <math>P(x,y)</math>가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다
 :<math>\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r</math>
 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다.
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 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.
-먼저 $A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$로 치환을 해보자.
+먼저 <math>A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}</math>로 치환을 해보자.
 그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다
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 [[완전제곱식 만들기]] 항목 참조
+==메모==
+* [http://www.uwgb.edu/dutchs/mathalgo/CIRCSPH.HTM Circles and Spheres]
+* [http://mysite.verizon.net/res148h4j/zenosamples/zs_sphere4pts.htmlCenter and Radius of a Sphere from Four Points]
 ==역사==
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 ==관련된 항목들==
-* [[원주율(파이,π)|파이]]
+* [[원주율(파이,π)]]
-* [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]]
+* [[원주율과 적분]]
+* [[이차곡선(원뿔곡선)]]
 * [[완전제곱식 만들기]]
+* [[N차원 구면의 매개화]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMXB1T1RtVkpoZ3M/edit
 * http://mathematica.stackexchange.com/questions/20051/how-do-i-write-this-equation-in-the-form-x-a2-y-b2-z-c2-d-0
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 [[분류:곡선]]
 [[분류:고교수학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q17278 Q17278]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'circle'}]
+* [{'LEMMA': '⭕'}]
+* [{'LEMMA': '⚪'}]

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2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

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