원주율과 적분

수학노트
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개요

  • 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
  • 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
  • 가정들
    • 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
    • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
    • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
      • 다항식의 미분, \(\sqrt{x}\)의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등




단위원의 둘레의 길이와 적분

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 \(C\)의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자. \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, \(C\)의 둘레의 길이의 절반은 다음과 같이 표현할 수 있다: \[\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\] 원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.




단위원의 면적과 적분

단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \(\pi\)가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 를 보이면 된다.

정리

\[4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\]

증명

먼저 다음의 등식을 확인하자: \[\frac{d}{dx} \left(x \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\] 양변을 적분하면 다음을 얻는다: \[\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0.\] 이로부터 다음을 얻는다: \[4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.\] 따라서 단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi\) 가 된다. ■




삼각함수론의 재구성

메모

\[\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\]\[\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\] \[\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \]


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