타원적분론 입문

수학노트
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개요

  • 타원적분론은 19세기 수학의 중요한 주제이다.
  • 베르누이, 오일러, 르장드르, 가우스, 아벨, 야코비, 리만 등에 의하여 연구되었다.
  • 복소해석학, 리만곡면론의 발전을 이끌었으며, 현대 대수기하학의 궤도에 큰 영향을 주었다.
  • 타원적분의 역함수를 타원함수라 부르며, 이는 역삼각함수와 삼각함수의 관계와 비슷하다.
  • 지금에 와서는 타원적분보다는 타원함수의 관점에서 이해하는 것이 더 자연스럽다고 여겨진다.
  • 미적분학에서 다루는 삼각치환오일러치환 을 복습하고 그를 바탕으로 타원적분론에 입문해 보자.



노트


미적분학의 치환적분

유리함수의 적분

유리함수는 부분분수로 분해하여 그 부정적분을 초등함수로 표현할 수 있다.


삼각함수의 적분

삼각함수의 적분은 유리함수의 적분으로 바꿀 수 있으므로, 그 부정적분을 초등함수로 표현할 수 있게 된다.

\(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정하자.


\(R(\cos x, \sin x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

\[t=\tan \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\] \[\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\] \[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]


\(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

\[t=\tanh \frac{x}{2},\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\] \[\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\] \[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]


이차식에 제곱근이 씌워진 적분

이제 초등함수로 표현할 수 있는 무리함수의 적분을 보도록 하자.

  • \(R(x,\sqrt{1-x^2})\)의 적분, \(x=\cos u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cos x, \sin x)\) 의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2-1})\)의 적분, \(x=\cosh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{x^2+1})\)의 적분, \(x=\sinh u\) 치환을 사용하면, \(R'(\cosh x, \sinh x)\)의 적분으로 변화
  • \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)의 적분

\[ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\left((ax+b)^2+{ac-b^2}\right)\]

  • \(ac-b^2\)와 \(a\)의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.


곡선과 유리함수를 이용한 매개화

이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. 중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.

\(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다.


즉, \(y^2=ax^2+bx+c\) 라는 곡선을, 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.

가령 단위원의 경우를 보자.

단위원 \(x^2+y^2=1\)의 점들은 다음과 같이 유리함수를 통하여 매개화할 수 있다. \[x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\], \(y=\frac{2t}{1+t^2}\) (피타고라스 쌍 참조)


오일러의 적분정리

위의 모든 논의를 요약하면, 다음과 같은 '오일러의 적분정리'를 얻는다. (오일러 치환 항목 참조)


정리 (오일러의 적분정리)

임의의 2변수 유리함수 \(R(x,y)\) 에 대하여, \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\) 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.



타원적분이란?

그러면 이제 제곱근 기호 안에 들어가는 차수가 높아지는 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 와 같은 경우 (렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분)는 어떨까?

\(y^2=1-x^4\) 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까? 하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.


\(\int R(x,y)\,dx\), 여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식. 즉 다음과 같은 형태의 적분


\(\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx\) 또는

\(\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx\)


타원적분 예1

역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원했다고 전해진다.

타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 \(4aE(k)\) 로 주어지기 때문이다. 여기서 \(k,E(k)\) 는 다음과 같다.

\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

마지막 식에서 볼 수 있듯이, 타원둘레의 길이는

\(R(x,y)=\frac{1-k^2x^2}{y}\) 이고, \(y^2=(1-x^2)(1-k^2x^2)\) 로 주어지는 타원적분이 된다.


타원적분 예2

타원적분을 만날 수 있는 또다른 예는 단진자의 주기를 구하는 과정에서다.

단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어진다.

\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)

보통의 경우, 위의 비선형 미분방정식을 근사시켜 선형미분방정식을 얻은뒤, 단진자를 단진동으로 이해하여, 그 주기를 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 표현한다.

그러나 실제로 주어진 미분방정식에 대한 진폭이 \(\theta_0\)인 진자의 주기를 구하면, 다음을 얻는다.

\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\). 여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\)

이러한 타원적분은 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 으로 불리는데, 위의 예1 에서처럼 적당한 변수치환을 통하여, 타원적분의 정의를 만족시키도록 표현할 수 있다.

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)


위상수학의 역할

오일러의 적분정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.

초등함수로 표현할 수 있는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.

다시 말하면, 리만곡면론의 관점에서 복소곡선 \(y^2=1-x^2\)는 위상적으로 구면과 같고, \(y^2=1-x^4\)는 위상적으로 토러스가 된다.

무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!


타원적분에서 타원함수로 (나중에 정리)

  • 타원함수
  • 타원적분의 역함수를 타원함수라 부르며, 이는 역삼각함수와 삼각함수의 관계와 비슷하다.
  • 야코비 One of his maxims was: 'Invert, always invert' ('man muss immer umkehren')



역사


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