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*  n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법:<math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math>
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*  조합(combination)이라고도 함
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*  조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
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*  중요한 성질
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* [[생성함수]]:<math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math>
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*  n에 대한 이항계수를 통해, <math>n+1</math>에 대한 이항계수를 유도할 수 있음:<math>{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}</math>
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==이항계수의 합==
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(증명)
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<math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math>
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<math>x=1</math>을 대입 ■
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<math>n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}</math>
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*  예:<math>80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4}  + 5 {5\choose 5}</math>
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==파스칼의 삼각형==
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* [[파스칼의 삼각형]]
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==이항계수의 q-analogue==
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* [[q-이항정리|q-이항계수와 q-이항정리]] 항목 참조
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* [[팩토리얼(factorial)]]의 q-analogue:<math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math>:<math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math>:<math>{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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==관련된 항목들==
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* [[파스칼의 삼각형]]
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* [[중복조합의 공식 H(n,r) =C(n+r-1,r)|중복 조합의 공식 H(n,r) =C(n+r-1,r)]]
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==수학용어번역==
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/이항계수][http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient ]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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==관련논문==
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://dx.doi.org/
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==블로그==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)]
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** 피타고라스의 창, 2008-9-30
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*  구글 블로그 검색
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** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이항계수]
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[[분류:조합수학]]
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[[분류:수열]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q209875 Q209875]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]
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* [{'LOWER': 'n'}, {'LOWER': 'choose'}, {'LEMMA': 'k'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

  • n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]
  • 조합(combination)이라고도 함
  • 조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
  • 중요한 성질
    • palindromic
    • unimodality



생성함수

  • 생성함수\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\]



점화식

  • n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음\[{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\]




이항계수의 합

\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)

(증명)

\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

\(x=1\)을 대입 ■


\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)

  • 예\[80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\]



파스칼의 삼각형



이항계수의 q-analogue

  • q-이항계수와 q-이항정리 항목 참조
  • 팩토리얼(factorial)의 q-analogue\[[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\]\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]\[{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\]



역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역



사전 형태의 자료



관련논문



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]
  • [{'LOWER': 'n'}, {'LOWER': 'choose'}, {'LEMMA': 'k'}]
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