"이항계수와 조합"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]
조합(combination)이라고도 함
조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
중요한 성질
- palindromic
- unimodality

생성함수

생성함수\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\]

점화식

n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음\[{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\]

이항계수의 합

\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)

(증명)

\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

\(x=1\)을 대입 ■

\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)

예\[80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\]

파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형

이항계수의 q-analogue

q-이항계수와 q-이항정리 항목 참조
팩토리얼(factorial)의 q-analogue\[[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\]\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]\[{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\]

역사

수학사 연표

메모

수학용어번역

사전 형태의 자료

블로그

고교 수학의 명장면 (2)
- 피타고라스의 창, 2008-9-30
구글 블로그 검색
- http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이항계수

메타데이터

위키데이터

ID : Q209875

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]
[{'LOWER': 'n'}, {'LOWER': 'choose'}, {'LEMMA': 'k'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-*  n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법<br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br>
+*  n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법:<math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math>
-*  조합(combination)이라고도 함<br>
+*  조합(combination)이라고도 함
-*  조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나<br>
+*  조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
-*  중요한 성질<br>
+*  중요한 성질
-**  palindromic<br>
+**  palindromic
-**  unimodality<br>
+**  unimodality
@@ 14번째 줄: / 14번째 줄: @@
 ==생성함수==
-* [[생성함수]]<br><math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math><br>
+* [[생성함수]]:<math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math>
@@ 22번째 줄: / 22번째 줄: @@
 ==점화식==
-*  n에 대한 이항계수를 통해, <math>n+1</math>에 대한 이항계수를 유도할 수 있음<br><math>{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}</math><br>
+*  n에 대한 이항계수를 통해, <math>n+1</math>에 대한 이항계수를 유도할 수 있음:<math>{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}</math>
@@ 44번째 줄: / 44번째 줄: @@
 <math>n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}</math>
-*  예<br><math>80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4}  + 5 {5\choose 5}</math><br>
+*  예:<math>80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4}  + 5 {5\choose 5}</math>
@@ 52번째 줄: / 52번째 줄: @@
 ==파스칼의 삼각형==
-* [[파스칼의 삼각형]]<br>
+* [[파스칼의 삼각형]]
@@ 60번째 줄: / 60번째 줄: @@
 ==이항계수의 q-analogue==
-* [[q-이항정리|q-이항계수와 q-이항정리]] 항목 참조<br>
+* [[q-이항정리|q-이항계수와 q-이항정리]] 항목 참조
-* [[팩토리얼(factorial)]]의 q-analogue<br><math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br><math>{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math><br>
+* [[팩토리얼(factorial)]]의 q-analogue:<math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math>:<math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math>:<math>{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math>
@@ 69번째 줄: / 69번째 줄: @@
 ==역사==
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
@@ 93번째 줄: / 93번째 줄: @@
 * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
@@ 108번째 줄: / 108번째 줄: @@
 * http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
@@ 126번째 줄: / 126번째 줄: @@
 ==블로그==
-* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)]<br>
+* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/09/30/452 고교 수학의 명장면 (2)]
 ** 피타고라스의 창, 2008-9-30
-*  구글 블로그 검색<br>
+*  구글 블로그 검색
 ** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이항계수]
+[[분류:조합수학]]
+[[분류:수열]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q209875 Q209875]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]
+* [{'LOWER': 'n'}, {'LOWER': 'choose'}, {'LEMMA': 'k'}]