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==개요==
  
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 <math>n</math>의 약수인 수의 합
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* <math>\sigma(n)</math> 으로 나타냄:<math>\sigma(n)=\sum_{d|n}d</math>
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*  더 일반적으로 <math>n</math>의 약수인 수의 <math>r</math>거듭제곱의 합도 정의 됨:<math>\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r</math>
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* 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
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* [[모듈라 형식(modular forms)]]인 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]의 계수로 나타남
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==성질==
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* 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)</math>
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* 소수 <math>p</math> 에 대하여,  <math>\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}</math>
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==점화식==
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(정리)
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<math>\sigma(k)</math>은 다음 공식을 만족한다.
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<math>k</math>가 [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)|오각수]]가 아닌 경우
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<math>\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots</math>
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<math>k</math>가 [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)|오각수]] 즉 <math>k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}</math> 꼴로 주어진 경우
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<math>\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots</math>
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(증명)
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[[생성함수]]를 다음과 같이 두자.
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<math>A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n</math>
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<math>\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n</math> 이므로 <math>A(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}</math>임을 알 수 있다.
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이제 [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]를 활용하자.
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<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty (1-x^m)</math>
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위의 우변에 로그미분을 취한 다음 <math>-x</math>를 곱하면,
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<math>-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}=A(x)</math>
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따라서
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<math>A(x)f(x)=-xf'(x)</math>를 얻는다.
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<math>A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)</math>  이므로
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<math>x^k</math>의 계수는 <math>\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)</math> 로 주어진다.
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한편,
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<math>-xf'(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{j+1}\frac{j(3j-1)}{2}x^{j(3j-1)/2}</math>  ■
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*  오각수가 아닌 경우의 예
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** <math>\sigma(10)=18</math>
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** <math>\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18</math>
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** <math>\sigma(20)=42</math>
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** <math>\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42</math>
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*  오각수인 경우의 예
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** <math>\sigma(5)+5=6+5=11</math>
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** <math>\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11</math>
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** <math>\sigma(12)-12=28-12=16</math>
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** <math>\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16</math>
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math>
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==20까지 자연수의 약수의 합 목록==
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* <math>n</math>과 <math>\sigma(n)</math>의 값
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* [[100까지 자연수의 약수의 합 목록]] 항목 참조
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==해석학적 결과==
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* Bachmann, <math>n\to \infty</math>일 때,
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:<math>
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\sum_{j=1}^n \sigma(j)=\frac{\pi^2}{12}n^2+O(n\log n)
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</math>
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* Gronwall, <math>n\to \infty</math>일 때,
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:<math>
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\limsup_{n\to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log \log n}=e^{\gamma}
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</math>
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여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러상수, 감마]]
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* 로빈 (Robin) 다음은 [[리만가설]]과 동치이다
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모든 자연수 <math>n\geq 5041</math>에 대하여
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:<math>
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\sigma(n)< e^{\gamma} n \log \log n
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</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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==관련된 항목들==
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
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* [[모듈라 형식(modular forms)]]
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* [[자코비 세타함수]]
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* [[자코비의 네 제곱수 정리]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjU3MGZjZGQtNGM0My00MjA5LTk1Y2YtMmFkZTg2ZWI1ZDAz&sort=name&layout=list&num=50
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* http://oeis.org/A067698
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function
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==관련논문==
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* Lagarias, Jeffrey C. 2000. “An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis.” arXiv:math/0008177 (August 22). http://arxiv.org/abs/math/0008177.
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* [http://www.jstor.org/stable/2041430 Recurrences for the Sum of Divisors]
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** John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 64, No. 2 (Jun., 1977), pp. 214-218
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[[분류:초등정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q915474 Q915474]
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===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'divisor'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

  • 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합
  • \(\sigma(n)\) 으로 나타냄\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d\]
  • 더 일반적으로 \(n\)의 약수인 수의 \(r\)거듭제곱의 합도 정의 됨\[\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\]
  • 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
  • 분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
  • 모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남

성질

  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여, \(\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}\)



점화식

(정리)

\(\sigma(k)\)은 다음 공식을 만족한다.

\(k\)가 오각수가 아닌 경우

\(\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)

\(k\)가 오각수 즉 \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어진 경우

\(\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)


(증명)

생성함수를 다음과 같이 두자.

\(A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n\)

\(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n\) 이므로 \(A(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}\)임을 알 수 있다.

이제 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)를 활용하자.

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty (1-x^m)\)

위의 우변에 로그미분을 취한 다음 \(-x\)를 곱하면,

\(-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}=A(x)\)

따라서

\(A(x)f(x)=-xf'(x)\)를 얻는다.

\(A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)\) 이므로

\(x^k\)의 계수는 \(\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)\) 로 주어진다.

한편,

\(-xf'(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{j+1}\frac{j(3j-1)}{2}x^{j(3j-1)/2}\) ■


  • 오각수가 아닌 경우의 예
    • \(\sigma(10)=18\)
    • \(\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18\)
    • \(\sigma(20)=42\)
    • \(\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42\)
  • 오각수인 경우의 예
    • \(\sigma(5)+5=6+5=11\)
    • \(\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11\)
    • \(\sigma(12)-12=28-12=16\)
    • \(\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16\)
  • 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]


20까지 자연수의 약수의 합 목록

  • \(n\)과 \(\sigma(n)\)의 값

1 1 2 3 3 4 4 7 5 6 6 12 7 8 8 15 9 13 10 18 11 12 12 28 13 14 14 24 15 24 16 31 17 18 18 39 19 20 20 42


해석학적 결과

  • Bachmann, \(n\to \infty\)일 때,

\[ \sum_{j=1}^n \sigma(j)=\frac{\pi^2}{12}n^2+O(n\log n) \]

  • Gronwall, \(n\to \infty\)일 때,

\[ \limsup_{n\to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log \log n}=e^{\gamma} \] 여기서 \(\gamma\)는 오일러상수, 감마

모든 자연수 \(n\geq 5041\)에 대하여 \[ \sigma(n)< e^{\gamma} n \log \log n \]


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'divisor'}, {'LEMMA': 'function'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=자연수의_약수의_합&oldid=52448"