"클라인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 42개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
* [[슈뢰딩거 방정식]] 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
 +
*  스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
 +
** real
 +
** complex  - charged spin zero particles
 +
* 특수 상대성 이론의 관계식 <math>E^2=p^2+m^2</math> 로부터 얻을 수 있다
 +
* <math>\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2</math>
 +
* <math>(\Box + m^2) \varphi = 0</math>
 +
** <math>(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0</math>
 +
** <math>(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==오일러-라그랑지 방정식==
 +
 +
*  라그랑지안 <math>\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}</math>  에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]:<math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0</math>  을 적용하여 얻어진다
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==free particle solution==
 +
 +
* <math>\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}</math> 이 해가 되려면 <math>E^2=m^2+\vec{P}^2</math> 을 만족해야 한다
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==푸리에 급수해==
 +
 +
* wave number k 에 대하여, <math>E=k_0=\omega_k</math>, <math>\vec{p}=\vec{k}</math> 로 두자
 +
*  real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다
 +
:<math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math>
 +
** 양자화  이후에 <math>a(\vec{k})</math>는 annihilation operator, <math>a^{\dagger}(\vec{k})</math>는 creation operator 로 불린다
 +
*  conjugate momentum
 +
:<math>\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )}  = \frac{\partial \varphi}{\partial t} </math>
 +
:<math>\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]
 +
</math>
 +
 +
 +
 +
 +
==양자화==
 +
 +
*  equal time commutation relations
 +
* <math>[\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})</math>
 +
* <math>[\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0</math>
 +
* <math>[\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==역사==
 +
 +
*  클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
 +
** negative energy states 의 존재
 +
** negative probability density
 +
* 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
 +
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 +
* [[수학사 연표]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==메모==
 +
* Dattoli, G., E. Sabia, K. Górska, A. Horzela, and K. A. Penson. “Relativistic Wave Equations: An Operational Approach.” arXiv:1502.00446 [math-Ph, Physics:quant-Ph], February 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1502.00446.
 +
* [http://cc.oulu.fi/%7Etf/tiedostot/pub/kvmIII/english/2004/20_klein.pdf http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/kvmIII/english/2004/20_klein.pdf]
 +
* http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf
 +
* [http://fias.uni-frankfurt.de/%7Ebrat/LecturesWS1011/Lecture8.pdf http://fias.uni-frankfurt.de/~brat/LecturesWS1011/Lecture8.pdf]
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
 +
* [[사인-고든 방정식]]
 +
* [[파동 방정식]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==수학용어번역==
 +
 +
*  단어사전
 +
** http://translate.google.com/#en|ko|
 +
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 +
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 +
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 +
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 +
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 +
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 +
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==사전 형태의 자료==
 +
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon_equation
 +
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 +
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
[[분류:양자역학]]
 +
[[분류:수리물리학]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q868967 Q868967]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
 +
* [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'fock'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
 +
* [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'fock'}, {'LEMMA': 'equation'}]
 +
* [{'LOWER': 'k'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'g'}, {'LEMMA': 'equation'}]
 +
* [{'LOWER': 'k'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'g'}, {'LEMMA': 'equation'}]
 +
* [{'LOWER': 'kg'}, {'LEMMA': 'equation'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:02 기준 최신판

개요

  • 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
  • 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
    • real
    • complex - charged spin zero particles
  • 특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
  • \(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
  • \((\Box + m^2) \varphi = 0\)
    • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0\)
    • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0\)



오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다



free particle solution

  • \(\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다




푸리에 급수해

  • wave number k 에 대하여, \(E=k_0=\omega_k\), \(\vec{p}=\vec{k}\) 로 두자
  • real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다

\[\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\]

    • 양자화 이후에 \(a(\vec{k})\)는 annihilation operator, \(a^{\dagger}(\vec{k})\)는 creation operator 로 불린다
  • conjugate momentum

\[\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \] \[\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}] \]



양자화

  • equal time commutation relations
  • \([\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})\)
  • \([\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0\)
  • \([\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0\)




역사

  • 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
    • negative energy states 의 존재
    • negative probability density
  • 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
  • http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
  • 수학사 연표



메모

관련된 항목들



수학용어번역




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'fock'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'klein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'gordon'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'fock'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'k'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'g'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'k'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'g'}, {'LEMMA': 'equation'}]
  • [{'LOWER': 'kg'}, {'LEMMA': 'equation'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=클라인-고든_방정식&oldid=52500"