"타원 모듈라 λ-함수"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
  
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* <math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math> 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨<br>
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* <math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math> 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
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** <math>k(\tau)</math>에 대해서는 [[타원적분의 singular value k]] 참조<br>
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** <math>k(\tau)</math>에 대해서는 [[타원적분의 singular value k]] 참조
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* 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량([[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]])에 그 자리를 내줌
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* 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량([[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]])에 그 자리를 내줌
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*  level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math><br>
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*  level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math>
  
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==세타함수와의 관계==
 
==세타함수와의 관계==
  
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* [[자코비 세타함수]]<br>[[자코비 세타함수|자코비 세타함수]]<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>:<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math><br>
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* [[자코비 세타함수]]
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:<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
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:<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math>
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* 푸리에 전개
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:<math>
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\lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau}
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</math>
  
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==바이어슈트라스 타원함수와의 관계==
 
==바이어슈트라스 타원함수와의 관계==
  
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]<br>[[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스 타원함수 ℘]]<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>:<math>\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}</math> 로 두면, <math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math><br> 여기서 :<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br>
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]
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* <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음<br>
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:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
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* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] 항목 참조:<math>z_4=\infty</math> 인 경우:<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math><br>
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* <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> 로 두면, 다음을 얻는다
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:<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math> 여기서
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:<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
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* <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
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* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] 항목 참조
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* <math>z_4=\infty</math> 인 경우
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:<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math>
  
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==모듈라군에 의한 변환==
 
==모듈라군에 의한 변환==
  
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* [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환<br>
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* [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환
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*  생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
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*  생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
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* <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math><br>
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* <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math>
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* <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math><br>
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* <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math>
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*  따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다<br>[[교차비(cross ratio)|교차비]]:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math><br>
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*  따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
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*  이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]]에서 등장함<br>
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:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math>
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* <math>\Gamma/\Gamma(2)</math><br>
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*  이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)]]에서 등장함
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* <math>\Gamma/\Gamma(2)</math>
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==타원 모듈라 j-함수와의 관계==
 
==타원 모듈라 j-함수와의 관계==
  
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]<br>
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
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:<math>j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}</math>
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<math>J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}</math>
 
  
 
(증명)
 
(증명)
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<math>k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}</math>로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자.
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:<math>
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(\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)(  1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}
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</math>
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모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다.
  
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다음과 같은 함수를 생각하자. 
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<math>(\lambda(\tau)+1)( {1\over\lambda(\tau)}+1)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+1)( 1-\lambda(\tau)+1)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+1)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)})</math>
 
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모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다.
 
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==special values==
 
==special values==
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<math>\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}</math>
 
<math>\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}</math>
  
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<math>\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})</math> 는 <math>1-\lambda+\lambda^2=0</math> 의 두 해
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<math>\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})</math> 는 <math>1-\lambda+\lambda^2=0</math> 의 두 해
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==모듈라 다항식==
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* <math>P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0</math>를 만족하는 다항식 <math>P_n(x,y)\in{\mathbb{
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Z}}[x,y]</math>이 존재하며, 이 때 차수는 <math>x,y</math> 각각에 대하여 <math>\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)</math>로 주어진다
  
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==역사==
 
==역사==
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* [[수학사 연표]]
 
* [[수학사 연표]]
  
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==메모==
 
==메모==
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
 
* [[타원적분의 singular value k]]
 
* [[타원적분의 singular value k]]
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
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* [[르장드르의 타원곡선 모임]]
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==수학용어번역==
 
  
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVnZXY0loNjZLT00/edit
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* http://oeis.org/A115977
  
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==사전 형태의 자료==
 
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Ishii, Noburo. ‘Minimal Equations and Values of Generalized Lambda Functions’. arXiv:1504.05272 [math], 20 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.05272.
 +
* Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244.
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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==관련도서==
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* http://dx.doi.org/
 
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==관련도서==
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* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
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** 7.3.4를 참고
  
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* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979<br>
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==메타데이터==
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** 7.3.4를 참고
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6889722 Q6889722]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'modular'}, {'LOWER': 'lambda'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판

개요

  • \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
  • level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨\[\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\]



세타함수와의 관계

\[k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\] \[\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\]

  • 푸리에 전개

\[ \lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau} \]



바이어슈트라스 타원함수와의 관계

\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]

  • \(\tau=\omega_2/\omega_1\) 로 두면, 다음을 얻는다

\[\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\] 여기서 \[e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]

\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]



모듈라군에 의한 변환

  • 모듈라 군(modular group)에 의한 변환
  • 생성원\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  • \(T: \tau \to \tau+1\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}\]
  • \(S: \tau \to -\frac{1}{\tau}\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)\]
  • 따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다

\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\]


타원 모듈라 j-함수와의 관계

\[j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}\]

(증명) \(k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}\)로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자. \[ (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} \] 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.


special values

\(\lambda(i\infty)=0\)

\(\lambda(0)=1\)

\(\lambda(1)=\infty\)

\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)

\(\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})\) 는 \(1-\lambda+\lambda^2=0\) 의 두 해


모듈라 다항식

  • \(P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0\)를 만족하는 다항식 \(P_n(x,y)\in{\mathbb{ Z}}[x,y]\)이 존재하며, 이 때 차수는 \(x,y\) 각각에 대하여 \(\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)\)로 주어진다


역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

  • Ishii, Noburo. ‘Minimal Equations and Values of Generalized Lambda Functions’. arXiv:1504.05272 [math], 20 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.05272.
  • Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244.

관련도서

  • [AHL1979]Lars Ahlfors, Complex Analysis , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
    • 7.3.4를 참고

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'modular'}, {'LOWER': 'lambda'}, {'LEMMA': 'function'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=타원_모듈라_λ-함수&oldid=52507"