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==개요==
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* 원에 내접하는 사각형의 변의 길이 사이의 관계
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==내접사각형에 대한 톨레미의 정리==
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(정리)
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사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다:<math>\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}</math>
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[[Image:톨레미.png|400px]]
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==삼각함수 덧셈공식의 유도==
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*<math>AC=\sin (\theta_1+\varphi_3) </math>
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*<math>BD=\sin (\varphi_1+\varphi_4)=\sin (\varphi_1+\varphi_3) </math>
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*<math>AB=\sin \theta_1 </math>
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*<math>CD=\sin \varphi_1 </math>
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*<math>BC=\sin \varphi_3 </math>
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*<math>AD=\sin \theta_3 </math>
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*<math>AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) </math>
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*<math>AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 </math>
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* 톨레미의 정리 :<math>\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3</math>
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* <math>\theta_1+\varphi_3=\pi/2</math>이면,<math>\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2</math> 이다.
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* 따라서 <math>\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 </math>
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* 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다:<math>\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1</math>
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* [[삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식]]
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* http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml
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==메모==
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* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Ewws/cabripages/hyperbolic/ptolemyproof.html http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/ptolemyproof.html]
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* An analogue of Ptolemy's theorem and its converse in hyperbolic geometry. http://goo.gl/iupfB
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==재미있는 사실==
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* 톨레미 알마게스트의 사인표(정확히는 현의 길이) 계산에 이용됨
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==관련된 항목들==
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* [[정다각형의 대각선의 길이]]
 
* [[정오각형]]
 
* [[정오각형]]
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[삼각함수]]
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* [[수학사 연표]]
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==사전형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_theorem
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==관련도서==
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==관련논문==
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*  Guo, Ren, and Nilgün Sönmez. 2010. Cyclic polygons in classical geometry. 1009.2970 (September 15). http://arxiv.org/abs/1009.2970.
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* Apostol, Tom M. 1967. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine 40, no. 5 (November 1): 233-235. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2688275 10.2307/2688275].
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* [http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml Ptolemy's Table of Chords Trigonometry in the Second Century]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q459547 Q459547]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'ptolemy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:04 기준 최신판

개요

  • 원에 내접하는 사각형의 변의 길이 사이의 관계

내접사각형에 대한 톨레미의 정리

(정리)

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다\[\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\]

톨레미.png

삼각함수 덧셈공식의 유도

  • \(AC=\sin (\theta_1+\varphi_3) \)
  • \(BD=\sin (\varphi_1+\varphi_4)=\sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
  • \(AB=\sin \theta_1 \)
  • \(CD=\sin \varphi_1 \)
  • \(BC=\sin \varphi_3 \)
  • \(AD=\sin \theta_3 \)
  • \(AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
  • \(AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 \)
  • 톨레미의 정리 \[\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3\]
  • \(\theta_1+\varphi_3=\pi/2\)이면,\(\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2\) 이다.
  • 따라서 \(\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 \)
  • 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다\[\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1\]
  • 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식
  • http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml


메모


재미있는 사실

  • 톨레미 알마게스트의 사인표(정확히는 현의 길이) 계산에 이용됨



관련된 항목들



사전형태의 자료


관련도서

관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'ptolemy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]
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