"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 <math>\Delta(\tau)</math>이 얻어짐
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* 푸리에 전개 <math>\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>로부터 얻어지는 계수 <math>\tau(n)</math>를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐
  
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* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]]
 
  
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==판별식 함수==
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px;">타원곡선의 discriminant</h5>
 
  
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* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math><br>
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===타원곡선의 판별식===
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*  정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.<br>
 
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*  또한 cusp 형식이 됨.<br><math>g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}</math>, <math>g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}</math> 이므로,<br><math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math><br>
 
  
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* 이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는<br><math>g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)</math> 로 주어짐.<br>
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* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)|<math>g_2, g_3</math>]]에 대해서는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] 항목을 참조<br>
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:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2</math>
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여기서 <math>g_2, g_3</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
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* 정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
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* 한편, <math>g_2(i\infty)=4\pi^4/3</math>, <math>g_3(i\infty)=8\pi^6/27</math> 이므로,:<math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math>
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* 따라서 cusp 형식이 됨
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*  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는 다음과 같다
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:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)</math>
  
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===정의===
  
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* 판별식 함수를 다음과 같이 정의
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:<math>\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math>
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여기서 <math>E_4, E_6</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">정의</h5>
 
  
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br>
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===모듈라 성질===
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math> 로 표현가능<br>
 
  
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*  위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
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:<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">모듈라 성질</h5>
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===무한곱 표현과 데데킨트 에타함수===
  
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* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br>
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* [[데데킨트 에타함수]]:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,:<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
  
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==라마누잔의 타우 함수==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">무한곱 표현과 데데킨트 에타함수</h5>
+
*  판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,:<math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>
  
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* [[데데킨트 에타함수]]<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br>
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 타우 함수</h5>
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===라마누잔의 추측===
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# 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}</math>
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# 소수 <math>p</math>와 자연수 <math>r</math>에 대하여, <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}</math>
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# 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}</math>
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* 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
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* 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨
  
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* discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br>
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===헤케 L-급수===
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* 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의
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:<math>
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L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2}
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</math>
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* 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다
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:<math>
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L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke}
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</math>
 +
여기서
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:<math>
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L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n}
 +
</math>
 +
* 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다
 +
:<math>
 +
\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right)
 +
</math>
 +
따라서,
 +
:<math>
 +
\sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2}
 +
</math>
 +
그리고
 +
:<math>
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L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
 +
</math>
 +
* 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다
 +
:<math>
 +
L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
 +
</math>
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* [[L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수]]
  
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===Lehmer의 추측===
  
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*  모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다
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* http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
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*  미해결
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 추측</h5>
 
  
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* <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math><br>
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===테이블===
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* 1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨<br>
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:<math>
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\begin{array}{c|c}
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n & \tau(n) \\
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\hline
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0 & 0 \\
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1 & 1 \\
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2 & -24 \\
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3 & 252 \\
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4 & -1472 \\
 +
5 & 4830 \\
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6 & -6048 \\
 +
7 & -16744 \\
 +
8 & 84480 \\
 +
9 & -113643 \\
 +
10 & -115920 \\
 +
11 & 534612 \\
 +
12 & -370944 \\
 +
13 & -577738 \\
 +
14 & 401856 \\
 +
15 & 1217160 \\
 +
16 & 987136 \\
 +
17 & -6905934 \\
 +
18 & 2727432 \\
 +
19 & 10661420 \\
 +
20 & -7109760 \\
 +
\end{array}
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</math>
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==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/161172/ramanujans-tau-function
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*  Hecke’s theory of Hecke operators
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*  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
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*  Ramanujan-Petersson Conjectures
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* Lee, Will Y. 2014. “Lehmer’s Conjecture on the Non-Vanishing of Ramanujan’s Tau Function.” arXiv:1406.3607 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.3607.
 +
* Lee, Will Y. “Elementary Proof of Lehmer’s Conjecture on Non-Vanishing of Tau Function.” arXiv:1506.02098 [math], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02098.
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Lehmer의 추측</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* 모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다<br>
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* [[데데킨트 에타함수]]
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* http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun<br>
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* [[라마누잔(1887- 1920)]]
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*  미해결<br>
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* [[수론적 함수(산술함수, arithmetic function)]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZnNfcFpJNXR4OWM/edit
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* http://oeis.org/A000594
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* http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
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* http://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">메모</h5>
 
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*  Hecke’s theory of Hecke operators<br>
 
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*  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations<br>
 
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*  Ramanujan-Petersson Conjectures<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
 
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* [[데데킨트 에타함수]]<br>
 
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* [[라마누잔(1887- 1920)]]<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
  
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==사전 형태의 자료==
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Petersson_conjecture http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture]
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Murty, M. Ram, and V. Kumar Murty. 2013. “The Ramanujan τ-Function.” In The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan, 11–23. Springer India. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-81-322-0770-2_2.
 +
* Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.
  
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* [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)]<br>
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==관련논문==
−
**  Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)<br>
+
* Tian, Peng, and Hourong Qin. ‘Non-Vanishing Fourier Coefficients of Modular Forms’. arXiv:1504.07381 [math], 28 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07381.
 +
* Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
 +
* Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)
  
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+
==메타데이터==
−
* http://dx.doi.org/
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===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3535240 Q3535240]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'tau'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

  • 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 \(\Delta(\tau)\)이 얻어짐
  • 푸리에 전개 \(\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)로부터 얻어지는 계수 \(\tau(n)\)를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐


판별식 함수

타원곡선의 판별식

  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2\] 여기서 \(g_2, g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
  • 한편, \(g_2(i\infty)=4\pi^4/3\), \(g_3(i\infty)=8\pi^6/27\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
  • 따라서 cusp 형식이 됨
  • 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는 다음과 같다

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)\]

정의

  • 판별식 함수를 다음과 같이 정의

\[\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\] 여기서 \(E_4, E_6\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)


모듈라 성질

  • 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨

\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]


무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

  • 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]


라마누잔의 타우 함수

  • 판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]


라마누잔의 추측

  1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}\)
  2. 소수 \(p\)와 자연수 \(r\)에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}\)
  3. 소수 \(p\)에 대하여, \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}\)
  • 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
  • 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

헤케 L-급수

  • 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의

\[ L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2} \]

  • 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke} \] 여기서 \[ L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n} \]

  • 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right) \] 따라서, \[ \sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2} \] 그리고 \[ L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

  • 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

Lehmer의 추측


테이블

\[ \begin{array}{c|c} n & \tau(n) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -24 \\ 3 & 252 \\ 4 & -1472 \\ 5 & 4830 \\ 6 & -6048 \\ 7 & -16744 \\ 8 & 84480 \\ 9 & -113643 \\ 10 & -115920 \\ 11 & 534612 \\ 12 & -370944 \\ 13 & -577738 \\ 14 & 401856 \\ 15 & 1217160 \\ 16 & 987136 \\ 17 & -6905934 \\ 18 & 2727432 \\ 19 & 10661420 \\ 20 & -7109760 \\ \end{array} \]



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'tau'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=판별식_(discriminant)_함수와_라마누잔의_타우_함수(tau_function)&oldid=52523"