"패리 수열(Farey series)"의 두 판 사이의 차이
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2021년 2월 17일 (수) 06:05 기준 최신판
개요
- Fn 은 0부터 1사이의 분모가 n이하인 기약분수의 집합
- F1 = {0⁄1, 1⁄1}
- F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
- F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
- F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
- F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
- F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
- F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1/5, 1/4, 2/7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
.png)
- 두 분수에 대해 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 다음과 같이 정의하면,\[\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\]
- 주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어지는 것을 관찰할 수 있다.
- 이 관찰의 증명은 맨 아래의 '참고할만한 자료'에서 찾을 수 있음
인접합 두 수가 만족하는 성질
- \(F_n\)의 인접한 두 분수, \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
\[ad-bc=1\]
오늘은 이것을 증명한다. 이것을 증명하면, 초딩들의 꿈의 분수덧셈이 왜 참인지 쉽게 알 수 있다.
이제 문제를 기하학적으로 해석해 보자. F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} 를 예를 들어 설명한다.
먼저 각각의 분수들에 대해, 좌표평면에다가 다음과 같은 방식의 대응관계를 찾아 점을 찍는다. 즉, \[ 0/1 \mapsto (1,0)\\ 1/5 \mapsto (5,1)\\ 1/4 \mapsto (4,1)\\ \cdots \\ 3/4 \mapsto (4,3)\\ 4/5 \mapsto (5,4)\\ 1/1 \mapsto (1,1)\\ \]
그러면 아래와 같은 그림이 얻어진다.
이 다음 각각의 좌표를 원점과 잇는 선분을 그린다.
각각의 분수들은 이와 같이 얻어진 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있다. 인접한 두 분수는 인접한 두 직선으로 나타나고 있다.
이제 왜 인접한 \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\), 가 \(ad-bc=1\)를 만족시키는가를 이해해 보자. 예를 들어, 1/2와 3/5는 인접해 있는데, 2×3-1×5=1을 만족시키고 있다. 이 상황을 기하학적으로 이해하자.
좌표평면 상에서 (0,0), (a,b), (c,d)이 그리는 격자삼각형을 생각해보자. ( (0,0),(2,1), (5,3) 의 경우를 구체적으로 생각해보라)
세 점을 이어서 삼각형을 그리게 되면, 이 삼각형은 그 내부와 경계에 (0,0), (a,b), (c,d)를 제외한 다른 격자들을 가지고 있지 않다. 이 관찰이 매우 중요하므로, 이것이 왜 참인지, \(F_n\)의 정의를 가지고 곰곰이 생각해보면 좋겠다.
이제 픽의 정리(Pick's Theorem)에 의해, 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2}\)가 된다. (I=0,B=3 인 경우) 픽의 정리는
를 말한다.한편 좌표평면 상에, 원점과 (a,b), (c,d) 세 점이 결정하는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다.
\[\frac{|ad-bc|}{2}\]
따라서 ad-bc가 양수라면, ad-bc=1이 성립해야만 한다.
패리 산수
\(\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
이제 목표했던 대로,
주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어진다.
를 증명한다. 지난 번 글에서는 다음 결과를 증명했다.
\(F_n\)의 인접한 두 분수,
\(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\)
사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
\(ad-bc=1\)
이제 이 결과를 이용해서, 초딩들의 꿈이 왜 참이 되는지를 증명한다.
\(F_n\)의 인접한 세 수를
\(\frac{b}{a} <\frac{x}{y} < \frac{d}{c}\)
라고 하면, 다음 식들을 얻게 된다.
\(ax-by=1\)\[dy-bx=1\]
두 식을 서로 뺀다.
\((ax-by)-(dy-cx)=0\)
즉
\((a+c)x-(b+d)y=0\)
따라서,
\(\frac{x}{y}=\frac{b+d}{a+c}\)
따라서 초딩들의 꿈의 덧셈은 참이다.
- 주의
분수덧셈 배우는 초딩들 헷갈리는 사태가 발생할 수 있으므로, 초등학교에서는 교육을 권장하지 않음
F_n의 크기
메모
- http://www3.telus.net/ldh/math/farey_hurwitz.pdf
- http://scimath.unl.edu/MIM/files/MATExamFiles/AmenGreenSchmidt_MAT_Exam_Expository%20Paper.pdf
관련된 단원
- 정수
- 약수와 배수
- 서로소
관련된 항목들
관련된 대학 수학
- 초등정수론
- 추상대수학
- 유한체 - Freshman's dream
- The modular group, j-invariant and the singular moduli
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련논문
- Short, Ian, and Mairi Walker. “Even-Integer Continued Fractions and the Farey Tree.” arXiv:1508.01373 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01373.
- Lagarias, Jeffery, and Harsh Mehta. ‘Products of Farey Fractions’. arXiv:1503.00199 [math], 28 February 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00199.
- Neville, E. H. 1949. “The structure of Farey series”. Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 51: 132–144.
블로그
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- 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
메타데이터
위키데이터
- ID : Q355803
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Farey'}]