"미디의 정리(Midy's theorem)"의 두 판 사이의 차이
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| + | # If k is any divisor of the period of the decimal expansion of a/p (where p is again a prime), then Midy's theorem can be generalised as follows.<ref name="ref_5a20be13">[https://en.wikipedia.org/wiki/Midy%27s_theorem Midy's theorem]</ref> | ||
| + | # Write( "Midy's theorem holds!" ); } else { Console.<ref name="ref_ac4ec158">[https://www.geeksforgeeks.org/midys-theorem/ Midy's theorem]</ref> | ||
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| + | # 2352 9411 7647 Extended Midy's theorem holds!<ref name="ref_7e7c6b6e">[https://www.tutorialspoint.com/extended-midy-s-theorem-in-cplusplus Extended Midy's theorem in C++]</ref> | ||
| + | ===소스=== | ||
| + | <references /> | ||
2021년 2월 22일 (월) 21:22 판
개요
- '142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 + 571=999
- 285 + 714=999
- 857 + 142=999
- 571 + 248=999
- 712 + 485=999
- 14+28+57=99
- 42+85+71=198=2*99
- 여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
- 대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
- 더 구체적으로는 \(\mathbb{Z}_p^{x}\)에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다
순환마디의 길이가 2의 배수일때
- 정리
소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자. 다음이 성립한다 \[1\leq i \leq n\] 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.
- 증명
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.
\(g_k \equiv a10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(1\leq g_k \leq p-1\), \((k=0,1,\cdots,2n-1)\)를 정의하자. \(g_0=a\) 이다.
분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -1 \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
예 : 1176470588235294
- p=17
- 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
- 11764705 + 88235294 = 99999999
- 이 경우엔 위의 증명에서 \(g_k\) 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다
순환마디의 길이가 3의 배수일 때
- 정리
소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자. 다음이 성립한다. \[a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\]
- 증명
순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.
\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.
\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.
따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.
그러나 \(1\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
- 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자. 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자. 둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다
예 : 052631578947368421
- p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
- p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438
관련논문
- Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. math/0605182 (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
- A. Gupta and B. Sury, Decimal expansion of 1/p and subgroup sums, Integers: Electronic Journal Of Combinatorial Number Theory 5 (2005),
- Brian D. Ginsberg Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
- M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
- E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q856158
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'midy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]
노트
말뭉치
- If k is any divisor of the period of the decimal expansion of a/p (where p is again a prime), then Midy's theorem can be generalised as follows.[1]
- Write( "Midy's theorem holds!" ); } else { Console.[2]
- To prove the original Midy's theorem, take the special case where h = 2.[3]
- 2352 9411 7647 Extended Midy's theorem holds![4]
소스
메타데이터
위키데이터
- ID : Q856158
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'midy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]
노트
말뭉치
- If k is any divisor of the period of the decimal expansion of a/p (where p is again a prime), then Midy's theorem can be generalised as follows.[1]
- Write( "Midy's theorem holds!" ); } else { Console.[2]
- To prove the original Midy's theorem, take the special case where h = 2.[3]
- 2352 9411 7647 Extended Midy's theorem holds![4]