미디의 정리(Midy's theorem)

개요

• '142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
  • 1+8=4+5=2+7=9
  • 142 + 857=999
  • 428 + 571=999
  • 285 + 714=999
  • 857 + 142=999
  • 571 + 248=999
  • 712 + 485=999
  • 14+28+57=99
  • 42+85+71=198=2*99
• 여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
• 대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
• 더 구체적으로는 \(\mathbb{Z}_p^{x}\)에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다

순환마디의 길이가 2의 배수일때

정리

소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자. 다음이 성립한다 \[1\leq i \leq n\] 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.

증명

분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.

\(g_k \equiv a10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(1\leq g_k \leq p-1\), \((k=0,1,\cdots,2n-1)\)를 정의하자. \(g_0=a\) 이다.

분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -1 \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

예 : 1176470588235294

• p=17
• 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
• 11764705 + 88235294 = 99999999
• 이 경우엔 위의 증명에서 \(g_k\) 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다

순환마디의 길이가 3의 배수일 때

정리

소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자. 다음이 성립한다. \[a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\]

증명

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.

\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.

따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.

그러나 \(1\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

• 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자. 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자. 둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다

예 : 052631578947368421

• p=19
  • 1/19=0.052631578947368421052...
  • 52631+578947+368421=999999
• p=7
  • 3/7 = 0.4285714286...
  • 42+ 85+71=198
  • 4/7 = 0.5714285714
  • 57+14+28=99

역사

• 1836년 미디
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 합동식 (모듈로 modulo 연산)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Midy's_theorem

리뷰, 에세이, 강의노트

• A Curious String of Nines
  • Hans Liebeck,
  • The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438

관련논문

• Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. math/0605182 (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
• A. Gupta and B. Sury, Decimal expansion of 1/p and subgroup sums, Integers: Electronic Journal Of Combinatorial Number Theory 5 (2005),
• Brian D. Ginsberg Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
• M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
• E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.

노트

말뭉치

1. In 1836, E. Midy proved that if p is a prime greater than 5, and the period of 1/p is 2 1.
2. (The results of Midy and Ginsberg follow quickly from this).
3. E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 6.
4. This theorem, which we will examine in this paper, be- came known as Midys Theorem due to a pamphlet published by E. Midy in Nantes, France, 1836.
5. In 1836 E. Midy published at Nantes, France, a pamphlet of twenty-one pages on some topics in number theory with applications to decimals.
6. Note that (iii) explains the dierence between 1/77 where k = 3 and gcd(77, 103 which has the Midy property (1), and 1/803 where k = 4 and gcd(803, 104 which (1) fails.
7. Midy himself considered the case of period length 3k, but he focused on the sums ai + ai+k + ai+2k, 1 k, which do not give smooth results.
8. Section 2 contains the main results as we study the Midy property in a more general setting.
9. This is known as Midy’s theorem.
10. If k is any divisor of the period of the decimal expansion of a/p (where p is again a prime), then Midy's theorem can be generalised as follows.
11. To prove the original Midy's theorem, take the special case where h = 2.
12. Now this is even in number therefore 1+8 = 9 which again shows the validity of Midy’s theorem.
13. Given numerator and denominator, the task is to find if the resultant floating point number follows Midy’s theorem or not.
14. Write( "Midy's theorem holds!" ); } else { Console.
15. This is to provide the necessary machinery for the proof of Midy's theorem, as well as for completeness.
16. In Extended Midy’s Theorem, the repeating portion is divided into m digits, then their sum is a multiple of 10m - 1.
17. 2352 9411 7647 Extended Midy's theorem holds!
18. We then use our method to give an elementary proof of Midy’s theorem on repeating decimals.
19. In Extended Midy’s theorem if we divide the repeating portion of a/p into m digits, then their sum is a multiple of 10m -1.
20. Write( "Denominator is not prime, " + "thus Extended Midy's theorem " + "is not applicable" ); return ; } int l = str.
21. Write( "Extended Midy's " + "theorem holds!" ); else Console.
22. Write( "Extended Midy's " + "theorem doesn't hold!" ); } else if (l % 2 != 0) { Console.
23. The 2-block property for primes is known as Midy’s theorem (1836).

메타데이터

위키데이터

• ID : Q856158

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'midy'}]
• [{'LOWER': 'midy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]