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<h5>composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)</h5>
 
<h5>composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)</h5>
  
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* ㅇ
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* 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 <math>1\cdot x = x \cdot 1= x</math>을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
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* composition 대수
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*  후르비츠의 정리<br> 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다.<br>
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* '''composition algebra'''<em style="">A</em> over a [http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29 field]<em style="">K</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Unital unital] (but not necessarily [http://en.wikipedia.org/wiki/Associative associative]) [http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field algebra] over <em style="">K</em> together with a [http://en.wikipedia.org/wiki/Nondegenerate nondegenerate][http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form quadratic form]<em style="">N</em> which satisfies
 
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: <math>N(xy) = N(x)N(y)\,</math>
 
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for all <em style="">x</em> and <em style="">y</em> in <em style="">A</em>.
 
  
 
*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의<br><math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
 
*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의<br><math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
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* normed division algebra는 ㄴcomposition 대수의 특별한 경우이다
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* normed division algebra는 composition 대수의 특별한 경우이다
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(정리) Hurwitz
 
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The only composition algebras over <math>\Bbb{R}</math> are <math>\Bbb{R}</math>,<math>\Bbb{C}</math>, <math>\Bbb{H}</math>, and <math>\Bbb{O}</math> , that is the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions.
 
  
 
 
 
 
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*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics<br>
 
*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics<br>
 
** Geoffrey Dixon, July 1994
 
** Geoffrey Dixon, July 1994
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* The four and eight square problem and division algebras in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
 
* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]<br>
 
* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]<br>
 
** Allen Hatcher
 
** Allen Hatcher

2010년 9월 16일 (목) 11:43 판

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개요
  • \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
  • \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

 

 

프로베니우스의 정리
  • 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebras
  • 프로베니우스의 정리
    any associative division algebra over R is isomorphic to R, C or H.

 

composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)
  • 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
  • 후르비츠의 정리
    실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.
  • 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의
    \( \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\)
  • normed division algebra는 composition 대수의 특별한 경우이다

 

 

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