다변수미적분학

간단한 요약

• 다변수 함수의 미분과 적분을 공부함.
• 라그랑지 승수 법칙과 헤세판정법을 통해, 함수의 최대값과 최소값을 구하는 기술을 배움.
• '미적분학의 기본정리'의 다변수 확장 버전인 '스토크스 정리' 를 공부함.

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 기초적인 선형대수학
  
  • 좌표공간
  • 행렬식
• 외적(cross product)

 

다루는 대상

• 곡선, 곡면, n차원 공간
• 벡터장

 

중요한 개념 및 정리

• 편미분
• 다변수 함수의 테일러 전개
• 미분연산자
  
  • grad
  • div
  • curl
• 내적과 외적
• 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
• 헤세판정법
  
  • 모스 보조정리 (Morse lemma)   
  • 판별식 판별법(Determinant test)
• 다중적분
  
  • 푸비니의 정리 (Fubini's theorem)
• 좌표변환
  
  • 자코비안과 행렬식
  • 극좌표계
  • 구면좌표계
  • 원통좌표계
  • 치환적분법
• 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리
  
  • 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.

 

 

미분연산자

• \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\)
• \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\)
• \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
• 라플라시안 \(\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)\)
  
  • 조화함수 : 라플라시안이 0 인 함수.

 

 

미분연산자 사이의 관계

• \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
• \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=0\)
• \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)

 

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• grad, div, curl 과 같은 미분연산자의 좌표불변성
• n차원 구의 부피
• 3차원의 외적을 고차원으로 확장할 수 있을까?[[1,2,4,8 과 1,3,7|]]
  
  • 1,2,4,8 혹은 1,3,7

 

다른 과목과의 관련성

• 전자기학
  
  • 맥스웰방정식
• 미분기하학
• 편미분방정식
• 이차형식
  
  • 헤세판정법과 실베스터의 intertia 정리

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 미분형식 (differential forms)
  
  • 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
• 미분다양체론

 

 

 

추천도서 및 보조교재

• Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus
  
  • Michael Spivak
    
• Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus
  
  • H. M. Schey
    

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/vector_calculus
• http://en.wikipedia.org/wiki/Del
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문과 에세이

• Vector Analysis
  
  • Homer V. Craig, Mathematics Magazine, Vol. 25, No. 2 (Nov. - Dec., 1951), pp. 67-86
• Bringing Calculus Up-to-Date
  
  • M. E. Munroe, The American Mathematical Monthly, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), pp. 81-90
• Some Remarks About the Curl of a Vector Field
  
  • J. D. Weston, The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 4 (Apr., 1961), pp. 359-361
• Invariant Definitions for Vector Calculus
  
  • Oswald Wyler, The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (Apr., 1968), pp. 394-396
• On the Curl of a Vector Field
  
  • J.-F. Dumais, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 7 (Aug. - Sep., 1982), pp. 469-473
• Understanding Vector Fields
  
  • C. R. Curjel, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 6 (Jun. - Jul., 1990), pp. 524-527
• Using Differentials to Bridge the Vector Calculus Gap
  
  • Tevian Dray and Corinne A. Manogue, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 4 (Sep., 2003), pp. 283-290
• Degenerate Critical Points
  
  • Theodore S. Bolis, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 5 (Nov., 1980), pp. 294-299
• Change of Variables in Multiple Integrals: Euler to Cartan
  
  • Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1982), pp. 3-11
• The History of Stokes' Theorem
  
  • Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156