"다이감마 함수(digamma function)"의 두 판 사이의 차이

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<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
 
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]의 공부에서 자연스럽게 등장함.<br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">덧셈공식</h5>
 
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* [[감마함수]]의 곱셈공식 <br><math>2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)</math><br>
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* 이항 덧셈공식<br><math>\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2</math><br>
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*  위의 식을 로그미분 하여 다음을 얻을 수 있음<br><math>2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)</math><br><math>\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2</math><br>
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(증명)
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[[감마함수]]의 곱셈공식 
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로그를 취하면
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">가우스의 Digamma 정리</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">가우스의 Digamma 정리</h5>
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<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k)  -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math>
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<math>\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math>
  
 
 
 
 
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<math>\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma</math>
 
<math>\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma</math>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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* [[감마함수]]<br>
  
 
 
 
 

2010년 2월 27일 (토) 09:48 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

 

차분방정식과의 관계

\(\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}\)

 

반사공식
  • 감마함수의 반사공식
    \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  • 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

 

 

덧셈공식
  • 이항 덧셈공식
    \(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\)

(증명)

감마함수의 곱셈공식 

\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)

로그를 취하면

\((2\ln 2)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{1}{2}\right) = \ln 2\sqrt{\pi}+\ln \Gamma(2x)\)

미분하면,

\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\) ■

 

 

 

가우스의 Digamma 정리

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

 

 

 

special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)

 

 

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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