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| − | * 비선형 [[미분방정식]]이며, 대학수준의 역학에서는 <math>\theta</math>가 0에 매우 가깝다고 가정하고, <math>\sin\theta\approx \theta</math> | + | * 비선형 [[미분방정식]]이며, 대학수준의 역학에서는 <math>\theta</math>가 0에 매우 가깝다고 가정하고, <math>\sin\theta\approx \theta</math> 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다<br><math>d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0</math><br> 이 때 단진자의 주기는 <math>2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}</math> 로 주어진다<br> |
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단진자의 주기</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단진자의 주기</h5> | ||
| − | * 단진자의 주기는 다음과 같다<br><math>T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi</math> | + | * 단진자의 주기는 다음과 같다<br><math>T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi</math>. 여기서 <math>k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}</math><br> |
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| − | 여기서 | + | 여기서 <math>A=\sqrt{1-\cos\theta_0}</math> 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자. |
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<math>\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2</math> | <math>\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2</math> | ||
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| + | 주기를 구하면, | ||
<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi</math> | <math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">제1종 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">제1종 타원적분과의 관계</h5> |
* 다음과 같이 정의된 적분<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | * 다음과 같이 정의된 적분<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | ||
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|일종타원적분 K]]<br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|일종타원적분 K]]<br> | ||
| + | * [[#]]<br> | ||
2010년 5월 14일 (금) 05:27 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \) - 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\) 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다
\(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
이 때 단진자의 주기는 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 주어진다 - 근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요하다
단진자의 주기
- 단진자의 주기는 다음과 같다
\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\). 여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\)
(증명)
진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)
여기서 \(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\) 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자.
\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)
그러면,
\(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)
\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)
\(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\) 를 얻는다.
주기를 구하면,
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)
\(A=\sqrt{2}k\)로 두면,
\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\)를 얻는다. ■
제1종 타원적분과의 관계
- 다음과 같이 정의된 적분
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\) - 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 항목 참조
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들[[타원적분(통합됨)|]]
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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관련도서 및 추천도서
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블로그
- Weistern's :: 단진자의 주기 ( 근사식 사용하지 않고, 제대로 )
- Weistern's, 2009-5-29
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