단진자의 주기와 타원적분

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• 단진자의 주기와 타원적분

 

 

개요

• 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
  \({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)
  
• 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\) 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다
  \(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
  이 때 단진자의 주기는 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 주어진다
  
• 근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요하다
  

 

 

 

단진자의 주기

• 단진자의 주기는 다음과 같다
  \(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\). 여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\)
  

(증명)

진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)

여기서 \(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\) 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자.

\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)

그러면,

\(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)

\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)

\(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\) 를 얻는다.

주기를 구하면,

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)

\(A=\sqrt{2}k\)로 두면,

\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\)를 얻는다. ■

 

 

제1종 타원적분과의 관계

• 다음과 같이 정의된 적분
  \(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 항목 참조
  

 

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 다른 주제들[[타원적분(통합됨)|]]

• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  

• 타원적분
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
• http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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  • http://books.google.com/books?q=
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=단진자
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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블로그

• Weistern's :: 단진자의 주기 ( 근사식 사용하지 않고, 제대로 )
  
  • Weistern's, 2009-5-29
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