"데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<math>L(\chi,s)</math>는 디리클레 L 함수([[디리클레 L-함수]] 항목 참조)
 
<math>L(\chi,s)</math>는 디리클레 L 함수([[디리클레 L-함수]] 항목 참조)
  
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<math>\chi</math>는 <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>
  
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<math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>
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* 일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br>
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*  위의 경우는 <math>{d_K}=1\cdot d_K</math> 에 해당<br>
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일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있다.
 
  
 
 
 
 
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(증명)
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<math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
  
 
 
 
 
  
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위에서 언급한 경우는 <math>{d_K}=1\cdot d_K</math> 에 해당
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">원분체의 데데킨트 제타함수</h5>
  
 
 
 
 
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<math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
 
  
 
 
 
 

2009년 11월 4일 (수) 17:46 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

기호

\(K\) 수체

\(C_K\)  ideal class group

 

 

간단한 소개
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  • 예
  • 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
    \(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\)
  • 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\)
  • 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
    \(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)

 

 

복소이차수체의 데데킨트 제타함수

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L(\chi,s)\)

\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설 항목을 참조

\(L(\chi,s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)

\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

  • 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
  • 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당

 

(정리)

\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여

\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)

 

(증명)

\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

원분체의 데데킨트 제타함수

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

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