데데킨트 제타함수

수학노트
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개요

  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

\[\zeta_{K}(s):=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\]


기호

  • \(K\) 수체
  • \(C_K\) ideal class group


함수방정식

  • 리만제타함수 의 함수방정식\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\]\[\xi(s) = \xi(1 - s)\]
  • 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉 \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
  • 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립\[\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\]\[\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\]


디리클레 유수 공식

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]

  • \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다\[ \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\]



부분제타함수

  • 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의\[\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\]
  • 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]
  • 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]





special values

클링겐-지겔 (Klingen-Siegel) 정리

\[\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}\]

Zagier, Bloch, Suslin

  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)일 때,

\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 $\mathbb{Q}$-basis D는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수이며, \(a\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함



역사



메모



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