"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

2010년 3월 14일 (일) 16:12 판

푸앵카레 상반평면에서 정의된 복소함수
무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
\(q=e^{2\pi i\tau}\)
모듈라 성질을 기술하기 위해 데데킨트 합이 필요
자연수의 분할수(integer partitions) 의 연구에 중요한 역할
모듈라 성질은 분할수의 생성함수(오일러 함수)를 이해하는데 중요

(정리)
\(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
\(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
여기서,
\(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합

\(h,k\)는 서로 소인 자연수
\(y>0\)가 매우 작을 때
\(\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합
\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때,
\(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\) 을 얻는다

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^k q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

@@ 11번째 줄: / 11번째 줄: @@
 * [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]]에서 정의된 복소함수
 *  무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br>  <math>q=e^{2\pi i\tau}</math><br>
-* [[데데킨트 합]]
+* 모듈라 성질을 기술하기 위해 [[데데킨트 합]]이 필요
 * [[자연수의 분할수(integer partitions)]] 의 연구에 중요한 역할
-* 모듀
+* 모듈라 성질은 [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]를 이해하는데 중요
-* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]를 이해하는ㄷ
@@ 33번째 줄: / 32번째 줄: @@
 * <math>h,k</math>는 서로 소인 자연수<br>
 * <math>y>0</math>가 매우 작을 때<br><math>\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
+* <math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때,<br><math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math> 을 얻는다<br>