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<h5>세타함수 형태의 표현</h5>
 
<h5>세타함수 형태의 표현</h5>
  
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* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br><math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math><br> 에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^k q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br>
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* [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]<br><math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math><br> 에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br>
  
 
 
 
 

2010년 4월 1일 (목) 15:41 판

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개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)\)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화

(정리)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\to 0\) 일 때,

\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})=\sqrt{\frac{2\pi}{t}}\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24t})\)

 

(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수) 에서

\(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)

임을 증명하였다. ■

 

더 일반적으로 \(h,k\)가 서로 소인 자연수일때

\(q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 이면

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

이 성립한다. 여기서 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

세타함수 형태의 표현

 

 

초기하급수 형태의 표현
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러 공식
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
  • \(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다
    \(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

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