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* 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | * 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br> | ||
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* 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math><br> | * 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math><br> | ||
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* 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨 | * 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨 | ||
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* <math>s=1</math> 에서의 값<br> | * <math>s=1</math> 에서의 값<br> | ||
2010년 3월 23일 (화) 14:36 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
기호
\(K\) 수체
\(C_K\) ideal class group
개요
- 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\) - 예
- \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 리만제타함수를 얻음
부분제타함수
- 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
\(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\) - 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\) - 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)
이차수체의 데데킨트 제타함수
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
- 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설
는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)
\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
- 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
- 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
(정리)
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)
(증명)
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
원분체의 데데킨트 제타함수
Klingen-Siegel 정리
- K : totally real 이고 \([K: \mathbb{Q}]=n\)이라 하자
적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)에 대하여
\(\zeta_{K}(2m)=r(m)\sqrt{d_{k}}\pi^{2mn}\), \(m>0\)
복소이차수체의 경우
- \(s=1\) 에서의 값
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 복소이차수체의 경우
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-q\)
\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
\(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
\(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 5\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
\(d_K=-4q\)
\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
\(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
\(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- \(s=2\) 에서의 값
- 복소이차수체의 경우
\(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
\(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
여기서 \(D(z)\)는 Bloch-Wigner dilogarithm
- 복소이차수체의 경우
- \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
- Chowla-셀베르그 공식
\(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
- Chowla-셀베르그 공식
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Hyperbolic volumes and zeta values An introduction
- Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions
- Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
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