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<math>\mathfrak{R}(s)\geq 0</math>에서 정의된 함수 <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math> 가 <math>\mathfrak{R}(s)\geq 0</math>에서 해석함수로 확장되면,
  
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<math>\int_0^{\infty} f(t) \,dt</math>이 존재하고, <math>F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt</math>가 성립한다. 
  
 
 
 
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* [[푸리에 변환]] 항목 참조<br><math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br>
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*  멜린변환에서 <math>x=e^{-t}</math>로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다<br><math>\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt</math><br>
  
 
 
 
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
  
 
 
 
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Stieltjes_transform http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Stieltjes_transform]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Stieltjes_transform http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Stieltjes_transform]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_%28mathematics%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)]
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

2012년 1월 15일 (일) 11:48 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

정의

\(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\)

 

 

성질

\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)\)

 

 

(정리)

\(f\)가 유계이고, \(t\geq 0\)에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자.

\(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 정의된 함수 \(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\) 가 \(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 해석함수로 확장되면,

\(\int_0^{\infty} f(t) \,dt\)이 존재하고, \(F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt\)가 성립한다. 

 

 

멜린변환과의 관계
  • 푸리에 변환 항목 참조
    \(\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\)
  • 멜린변환에서 \(x=e^{-t}\)로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다
    \(\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt\)

 

 

 

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