"라플라스 변환"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
− | ==이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | ==이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[라플라스 변환]] | * [[라플라스 변환]] | ||
7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
− | ==개요 | + | ==개요== |
* [[푸리에 변환]]의 변형 | * [[푸리에 변환]]의 변형 | ||
18번째 줄: | 18번째 줄: | ||
− | ==정의 | + | ==정의== |
* 함수 <math>f(t)</math>에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함<br><math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math><br> | * 함수 <math>f(t)</math>에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함<br><math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt</math><br> | ||
26번째 줄: | 26번째 줄: | ||
− | ==성질 | + | ==성질== |
* 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다<br><math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math><br> | * 함수 <math>f</math>에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다<br><math>\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)</math><br> | ||
44번째 줄: | 44번째 줄: | ||
− | ==예 | + | ==예== |
<math>\left(\frac{t^ne^t}{n!}\right)'=\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right+\frac{t^ne^t}{n!}\right</math> 로부터 <math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right\} = (s-1)\cdot\mathcal{L} \left\{ \frac{t^ne^t}{n!}\right\}</math> | <math>\left(\frac{t^ne^t}{n!}\right)'=\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right+\frac{t^ne^t}{n!}\right</math> 로부터 <math>\mathcal{L}\left\{\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right\} = (s-1)\cdot\mathcal{L} \left\{ \frac{t^ne^t}{n!}\right\}</math> | ||
66번째 줄: | 66번째 줄: | ||
− | ==상수계수 미분방정식에의 응용 | + | ==상수계수 미분방정식에의 응용== |
* <math>y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t</math> | * <math>y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t</math> | ||
77번째 줄: | 77번째 줄: | ||
− | ==멜린변환과의 관계 | + | ==멜린변환과의 관계== |
* [[푸리에 변환]] 항목 참조<br><math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | * [[푸리에 변환]] 항목 참조<br><math>\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br> | ||
88번째 줄: | 88번째 줄: | ||
− | ==역사 | + | ==역사== |
* 오일러 | * 오일러 | ||
99번째 줄: | 99번째 줄: | ||
− | ==메모 | + | ==메모== |
* [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | * [http://www.math.ttu.edu/%7Eklong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf http://www.math.ttu.edu/~klong/Notebooks/LaplaceTransforms.nb.pdf] | ||
107번째 줄: | 107번째 줄: | ||
− | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[푸리에 변환]] | * [[푸리에 변환]] | ||
115번째 줄: | 115번째 줄: | ||
− | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
126번째 줄: | 126번째 줄: | ||
− | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxekVyZUNKR2RGY0U/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxekVyZUNKR2RGY0U/edit | ||
141번째 줄: | 141번째 줄: | ||
− | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EB%B3%80%ED%99%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_변환] | ||
156번째 줄: | 156번째 줄: | ||
− | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
165번째 줄: | 165번째 줄: | ||
− | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> |
2012년 11월 1일 (목) 13:33 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 푸리에 변환의 변형
- 어떤 미분방정식들의 해를 대수적 조작을 통해 얻을 수 있게 해주는 변환
- 라플라스 변환을 미분방정식에 응용한 사람은 Oliver Heaviside http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside 이다
- operational calculus 또는 Heaviside calculus 의 도구
정의
- 함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환을 다음과 같이 정의함
\(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\)
성질
- 함수 \(f\)에 대한 도함수의 라플라스 변환은 다음과 같다
\(\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0)\)
(정리)
\(f\)가 유계이고, \(t\geq 0\)에서 조각적 연속(piecewise continuous)라 하자.
\(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 정의된 함수 \(F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt\) 가 \(\mathfrak{R}(s)\geq 0\)에서 해석함수로 확장되면,
\(\int_0^{\infty} f(t) \,dt\)이 존재하고, \(F(0) = \int_0^{\infty} f(t) \,dt\)가 성립한다.
예
\(\left(\frac{t^ne^t}{n!}\right)'=\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right+\frac{t^ne^t}{n!}\right\) 로부터 \(\mathcal{L}\left\{\frac{t^{n-1}e^t}{(n-1)!}\right\} = (s-1)\cdot\mathcal{L} \left\{ \frac{t^ne^t}{n!}\right\}\)
\(\mathcal{L}\left\{e^t\right\} = \frac{1}{s-1}\)
\(\mathcal{L}\left\{t e^t\right\} = \frac{1}{(s-1)^2}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^2 e^t}{2!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^3}\)
\(\mathcal{L}\left\{\frac{t^3 e^t}{3!}\right\} = \frac{1}{(s-1)^4}\)
...
상수계수 미분방정식에의 응용
- \(y''(t)-2 y'(t)+y(t)=e^t\)
- 양변에 라플라스 변환을 취하면,
\(s^2 Y(s)+Y(s)-2 (s Y(s)-1)-s+1=\frac{1}{s-1}\), 여기서 \(Y(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}\). - \(Y(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{2}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^3}\)
- \(y(t)=e^t-2t e^t+\frac{t^2}{2}e^t\) 는 주어진 미분방정식의 해가 된다
멜린변환과의 관계
- 푸리에 변환 항목 참조
\(\hat{f}(s)= \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\) - 멜린변환에서 \(x=e^{-t}\)로 변수를 치환하면, 라플라스 변환을 얻는다
\(\int_{0}^{\infty} f(e^{-t}) e^{-st}\,dt\)
역사
- 오일러
- 라플라스
- 헤비사이드
- 수학사연표
메모
관련된 항목들