"렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 극좌표계에서 | + | * 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름. |
* 카테시안 좌표계에서는 <math>(x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2</math>로 주어진다 | * 카테시안 좌표계에서는 <math>(x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2</math>로 주어진다 | ||
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| − | * 렘니스케이트 | + | * 렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분]] 으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐 |
<math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math> | <math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math> | ||
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<math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math> | <math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math> | ||
| − | <math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> | + | <math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> 를 이용하여 치환하면, |
<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi</math> | <math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi</math> | ||
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})</math> | <math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})</math> | ||
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots</math> | <math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots</math> | ||
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* [[타원곡선 y²=x³-x]]의 주기([[periods]])이며 [[무리수와 초월수|초월수]] 임. | * [[타원곡선 y²=x³-x]]의 주기([[periods]])이며 [[무리수와 초월수|초월수]] 임. | ||
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| − | * 가우스가 계산한 | + | * 가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율<br><math>\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots</math><br><math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots</math><br><math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots</math> 가 얻어짐<br> |
* 한편<math>AGM(a,b)</math> 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.<br><math>a_0=a</math>, <math>b_0=b</math><br><math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>, <math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math><br> | * 한편<math>AGM(a,b)</math> 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.<br><math>a_0=a</math>, <math>b_0=b</math><br><math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>, <math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math><br> | ||
* 가우스의 계산으로는 <math>AGM(1,\sqrt2)</math>과 같음 | * 가우스의 계산으로는 <math>AGM(1,\sqrt2)</math>과 같음 | ||
* 단위원과 렘니스케이트 곡선<br>[/pages/2090560/attachments/3141701 lemiscate_circle.jpg]<br> | * 단위원과 렘니스케이트 곡선<br>[/pages/2090560/attachments/3141701 lemiscate_circle.jpg]<br> | ||
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| − | + | ==가우스의 계산 타원적분을 통한 증명== | |
<math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})</math> | <math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})</math> | ||
| − | * [[란덴변환(Landen's transformation)|랜든변환(Landen's transformation)]] | + | * [[란덴변환(Landen's transformation)|랜든변환(Landen's transformation)]] 에서 얻어진 결과에서 |
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| − | * 두 결과를 | + | * 두 결과를 이용하면 |
<math>\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})</math> | <math>\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})</math> | ||
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<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math> | <math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math> | ||
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 참조 | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 참조 | ||
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* 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음<br> | * 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음<br> | ||
* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음<br> | * 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음<br> | ||
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| − | * | + | * 1684 베르누이 'Acta Eruditorum' |
* 18세기 Fagnano, Euler, and Legendre 에 의한 연구 | * 18세기 Fagnano, Euler, and Legendre 에 의한 연구 | ||
| − | * 1798~1799년의 | + | * 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. ([http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA99&lpg=PA99&dq=gauss+new+analysis+lemniscate&source=web&ots=zguJpj77J9&sig=fnWL0QJ09eHIqPElVjrSoXaQW5M#PPA99,M1 Pi-unleashed, 99p])<br> |
<blockquote style="margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 38px; line-height: 2em; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;"> | <blockquote style="margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 38px; line-height: 2em; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;"> | ||
| − | We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal | + | We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to <math>\frac{\pi }{\omega}</math> between 1 and <math>\sqrt{2}</math> we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us. |
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* Gauss' study of lemniscate curve and elliptic integrals<br> | * Gauss' study of lemniscate curve and elliptic integrals<br> | ||
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]<br> | * [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]<br> | ||
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* [[아이젠슈타인 기약다항식 판정법]]<br> | * [[아이젠슈타인 기약다항식 판정법]]<br> | ||
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* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=lemniscate http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate] | * [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=lemniscate http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate] | ||
| − | * Latin | + | * Latin lemniscus meaning "ribbon" |
* 번역용어제안<br> | * 번역용어제안<br> | ||
** 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본 | ** 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본 | ||
| − | ** '베르누이의 연주형'(lemniscate) | + | ** '베르누이의 연주형'(lemniscate) [http://www.google.com/dictionary?langpair=ko%7Cko&q=%EC%97%B0%EC%A3%BC http://www.google.com/dictionary?langpair=ko|ko&q=연주] |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A0%98%EB%8B%88%EC%8A%A4%EC%BC%80%EC%9D%B4%ED%8A%B8 http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A0%98%EB%8B%88%EC%8A%A4%EC%BC%80%EC%9D%B4%ED%8A%B8 http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트] | ||
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* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
* Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century<br> | * Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century<br> | ||
| − | ** M. Borwein and D. H. Bailey, | + | ** M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003. |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ||
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* [http://www.ias.ac.in/resonance/Apr2004/Apr2004p21-29.htm From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics] R Sridharan | * [http://www.ias.ac.in/resonance/Apr2004/Apr2004p21-29.htm From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics] R Sridharan | ||
* [http://www.ias.ac.in/resonance/June2004/June2004p11-20.html From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work] R Sridharan<br> | * [http://www.ias.ac.in/resonance/June2004/June2004p11-20.html From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work] R Sridharan<br> | ||
* [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]Raymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984<br> | * [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]Raymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984<br> | ||
2012년 10월 23일 (화) 14:55 판
개요
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- 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
- 카테시안 좌표계에서는 \((x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2\)로 주어진다
렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분
- 렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분 으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐
\(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)
\(r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}\)
\(L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\)
\(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면,
\(d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi\)
\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})\)
\(x=\cos\phi\) 로 치환하면,
\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots\)
가우스의 렘니스케이트 상수
- \(\omega:=L/2=2.62\cdots\) 를 가우스의 렘니스케이트 상수라 함
\(L=2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\) - 타원곡선 y²=x³-x의 주기(periods)이며 초월수 임.
원주율과의 비교
- 가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율
\(\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots\)
\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots\)
\(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots\) 가 얻어짐 - 한편\(AGM(a,b)\) 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.
\(a_0=a\), \(b_0=b\)
\(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\), \(b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\) - 가우스의 계산으로는 \(AGM(1,\sqrt2)\)과 같음
- 단위원과 렘니스케이트 곡선
[/pages/2090560/attachments/3141701 lemiscate_circle.jpg]
가우스의 계산 타원적분을 통한 증명
\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\)
- 랜든변환(Landen's transformation) 에서 얻어진 결과에서
\(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)
- 두 결과를 이용하면
\(\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})\)
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
재미있는 사실
- 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
- 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음
역사
- 1684 베르누이 'Acta Eruditorum'
- 18세기 Fagnano, Euler, and Legendre 에 의한 연구
- 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. (Pi-unleashed, 99p)
We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to \(\frac{\pi }{\omega}\) between 1 and \(\sqrt{2}\) we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.
- 수학사연표
- Gauss' study of lemniscate curve and elliptic integrals
관련된 항목들
수학용어번역
- http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate
- Latin lemniscus meaning "ribbon"
- 번역용어제안
- 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본
- '베르누이의 연주형'(lemniscate) http://www.google.com/dictionary?langpair=ko|ko&q=연주
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50
- http://mathworld.wolfram.com/LemniscateConstant.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트
- http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
- http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_constant
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Lemniscate
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^{1}+1/sqrt(1-x^4)+dx
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)
관련도서
- Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
- M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문과 에세이
- From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics R Sridharan
- From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work R Sridharan
- The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic IntegralsRaymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984