타원곡선 y²=x³-x
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개요
- 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
- 복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
- <math>x\to -x</math> , <math>y\to iy</math> 는 타원곡선의 대칭이다
- complex multiplication
- elliptic curve "32a2"
판별식과 conductor
- 판별식 <math>\Delta=64</math>
- conductor <math>N=32</math>
실수해
유리수해
- <math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}</math>
- rank 는 0
주기(periods)
- 타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 <math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자
- 주기는 다음과 같이 주어진다:<math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>:<math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math>
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분:<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math>:<math>2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교[1]
유한체에서의 해의 개수
- 유한체에서의 해의 개수:<math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty)\}</math>:<math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math>:<math>a_p=p+1-M_p</math>
- 아래 표 참조
제타함수
- 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
- 로컬제타함수
- <math>p\neq 2</math> 인 경우:<math>Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}</math>
- <math>p= 2</math>인 경우:<math>Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}</math>
모듈라 형식
- 모듈라 형식
- <math>
\begin{aligned} f(\tau)&={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2\\ {}&=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots \end{aligned} </math> 여기서 <math>\eta(\tau)</math>는 데데킨트 에타함수
- 표
- <math> \begin{array}{c|c|c} {p} & {a_p} & {c_p} \\ \hline 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} </math>
- 타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조
관련된 항목들