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 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>
 
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* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]<br>
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** Michael Filaseta
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** Lecture notes
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** [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
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** [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes8.pdf The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results]
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem]

2009년 6월 26일 (금) 12:24 판

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

 

 

e는 초월수이다

 

먼저 \(e\)가 초월수임을 증명해보자. 더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

 

 

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