"린데만-바이어슈트라스 정리"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 14일 (월) 04:51 판

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

e는 초월수이다

더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

로그함수의 경우

위의 증명에서 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

사인함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\) 는 초월수이다.

\(\pi\) 는 초월수이다

파이는 초월수이다 항목 참조

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 서로 다른 대수적수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
+또는
 대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.
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-<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">사인함수으</h5>
+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">사인함수의 경우</h5>
+이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math> 는 초월수이다.
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+<br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">많이 나오는 질문과 답변</h5>
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 ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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 * [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]<br>
 **   <br>
-** Michael Filaseta
+** Michael Filaseta, Lecture notes
-** Lecture notes
 ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
 * http://en.wikipedia.org/wiki/
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=