"부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

개요

리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수이고, \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로서 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\) 여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수

(b) \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수이고, \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로서 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\) 여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수

리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

\(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면, (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.

(증명)은 [Ritt48]

노트
- \(F(x,y_1)=xy_1\), \(y_1=e^{g(x)}\) 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴\[y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1\] 는 \(x,y_1\) 의 유리함수

(따름정리)

정수 n에 대하여 \(\int x^{2n}e^{ax^2} dx\) (\(a\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 \(\int x^{-n}e^{cx} dx\) (\(c\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

예

초등함수가 아닌경우\[\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx\]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+ln+x\(\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt\), \(t^2=\ln x\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x [1]\(\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt\), \(t^2=\ln x\)

\(\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt\), \(t^2=x\)

\(\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt\), \(t=e^x\)

\(\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\ln x\)

\(\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx\)

\(\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)\)

[MAR94] 참고

체비셰프의 정리

(정리)

유리수 \(p,q,r\neq0\)와 실수 \(a,b\)에 대하여, 다음 둘은 동치이다.

(i)\(\int x^p(a+bx)^q \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q\) 중에 적어도 하나는 정수이다.

예

\(\int \sqrt[3]{1+x^2}dx\) 는 초등함수가 아니다. \(f(x)=x^k\) 의 그래프의 길이함수 \(\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx\) 는 \(k=1\) 또는 \(k=1+\frac{1}{n}\) 일 때만 초등함수이다.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+sin+x
\(\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u^2)^{-1/2}\,du\) (\(u=\sin x\)) 는 초등함수가 아니다.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+cos+x
\(\int \sqrt{\cos x}\,dx\) 는 초등함수가 아니다.
\(\int \sqrt{\tan x}\,dx\)는 초등함수이다. (\(u^2=\tan x\))

정수 \(m,n\)에 대하여, \(\int (1-x^n)^{1/m}\) 는 초등함수이다. \(\iff\) \(m=\pm 1\) 또는 \(n=\pm 1\) 또는 \(m=n=2\) 또는 \(m=-n\)

\(\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx\) 는 모든 정수 \(m,n\)에 대하여 초등함수이다.

참고 [MAR94]

역사

수학사 연표

수학사 연표

위키링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory

메타데이터

위키데이터

ID : Q2383624

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'differential'}, {'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]

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-<h5>간단한 소개</h5>
+==개요==
-<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
+==리우빌의 정리==
+(정리 ) 리우빌, 1835
+(a) <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.
-<h5>관련된 대학원 과목</h5>
+(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.
+(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수
+(b)  <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.
-<h5>관련된 다른 주제들</h5>
+(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.
+(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수
+==리우빌 정리의 특수한 경우==
+(정리 ) 리우빌, 1835
+<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.
+(i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.
+(ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.
+(증명)은 '''[Ritt48]'''
+*  노트
+** <math>F(x,y_1)=xy_1</math>, <math>y_1=e^{g(x)}</math> 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴:<math>y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1</math> 는 <math>x,y_1</math> 의 유리함수
+(따름정리)
+정수 n에 대하여 <math>\int x^{2n}e^{ax^2} dx</math> (<math>a\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.
+자연수 n에 대하여 <math>\int x^{-n}e^{cx} dx</math> (<math>c\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.
+==예==
+*  초등함수가 아닌경우:<math>\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx</math>
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+ln+x<math>\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x ]<math>\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>
+<math>\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt</math>, <math>t^2=x</math>
+<math>\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt</math>, <math>t=e^x</math>
+<math>\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\ln x</math>
+<math>\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx</math>
+<math>\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)</math>
+* '''[MAR94]''' 참고
+==체비셰프의 정리==
+(정리)
+유리수 <math>p,q,r\neq0</math>와 실수 <math>a,b</math>에 대하여, 다음 둘은 동치이다.
+(i)<math>\int x^p(a+bx)^q \,dx</math> 는 초등함수이다.
+(ii) <math>\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q</math> 중에 적어도 하나는 정수이다.
+==예==
+<math>\int \sqrt[3]{1+x^2}dx</math> 는 초등함수가 아니다.
+<math>f(x)=x^k</math> 의 그래프의 길이함수 <math>\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx</math> 는 <math>k=1</math> 또는 <math>k=1+\frac{1}{n}</math> 일 때만 초등함수이다.
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+sin+x
+* <math>\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u^2)^{-1/2}\,du</math> (<math>u=\sin x</math>) 는 초등함수가 아니다.
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+cos+x
+* <math>\int \sqrt{\cos x}\,dx</math> 는 초등함수가 아니다.
+* <math>\int \sqrt{\tan x}\,dx</math>는 초등함수이다. (<math>u^2=\tan x</math>)
+정수 <math>m,n</math>에 대하여, <math>\int (1-x^n)^{1/m}</math> 는 초등함수이다. <math>\iff</math> <math>m=\pm 1</math> 또는 <math>n=\pm 1</math> 또는 <math>m=n=2</math> 또는 <math>m=-n</math>
+<math>\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx</math> 는 모든 정수 <math>m,n</math>에 대하여 초등함수이다.
+*  참고 '''[MAR94]'''
+==역사==
+* [[수학사 연표]]
+[[수학사 연표]]
+==관련된 항목들==
+* [[불가능성의 정리들]]
 * [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
 * [[5차방정식과 근의 공식|일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명]]
+==관련도서\==
-<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
+* [http://www.amazon.com/Galois-Dream-Theory-Differential-Equations/dp/0817636889/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1238914115&sr=1-1 Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations ]
+** Michio Kuga
-*  Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods<br>
+* '''[Ritt48]'''Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
-** Joseph Fels Ritt
+** Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948
-<h5>위키링크</h5>
+==위키링크==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory
-<h5>참고할만한 자료</h5>
+==관련논문==
-* [http://www.jstor.org/stable/2318066 Integration in Finite Terms]<br>
+* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
-** Maxwell Rosenlicht
+** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
-** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
+* [http://math.stanford.edu/%7Econrad/papers/finalint.pdf Integration in elementary terms]
+** [http://math.stanford.edu/%7Econrad/ Brian Conrad], webpage
+* [http://www.springerlink.com/content/ww88811082545480/ From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms]
+** Jesper Lützen, NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin, Volume 2, Number 1 / 1994년 12월
+* '''[MAR94]'''[http://www.jstor.org/stable/2687614 An Invitation to Integration in Finite Terms]
+** Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri, <cite style="line-height: 2em;">The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
+* [http://www.jstor.org/stable/2689612 Integration in Finite Terms: The Liouville Theory]
+** Toni Kasper, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
+* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102866806 On Liouville's theory of elementary functions]
+** Maxwell Rosenlicht, <em style="">Pacific J. Math. Volume 65, Number 2 (1976), 485-492</em>
+* [http://www.jstor.org/stable/2318066 Integration in Finite Terms]
+** Maxwell Rosenlicht, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
+* [http://www.jstor.org/stable/1995313 The Problem of Integration in Finite Terms]
+** Robert H. Risch, <cite style="line-height: 2em;">[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=tranamermathsoci Transactions of the American Mathematical Society]</cite>, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
+* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102991609 Liouville's theorem on functions with elementary integrals]
+** Maxwell Rosenlicht, Pacific J. Math. Volume 24, Number 1 (1968), 153-161
+[[분류:적분]]
-* [http://www.jstor.org/stable/2689612 Integration in Finite Terms: The Liouville Theory]<br>
+==메타데이터==
-** Toni Kasper
+===위키데이터===
-** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2383624 Q2383624]
-* [http://www.jstor.org/stable/2687614 An Invitation to Integration in Finite Terms]<br>
+===Spacy 패턴 목록===
-** Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri
+* [{'LOWER': 'differential'}, {'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]
-** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
-* [http://math.stanford.edu/%7Econrad/papers/finalint.pdf Integration in elementary terms]<br>
-** [http://math.stanford.edu/%7Econrad/ Brian Conrad]
-* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br>
-** A G Khovanskii
-** Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
-* [http://www.jstor.org/stable/1995313 The Problem of Integration in Finite Terms]<br>
-** Robert H. Risch
-** <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=tranamermathsoci Transactions of the American Mathematical Society]</cite>, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
-*  From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms<br>
-** Jesper Lützen

"부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

목차

개요

리우빌의 정리

리우빌 정리의 특수한 경우

예

체비셰프의 정리

예

역사

관련된 항목들

관련도서\

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관련논문

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