5차방정식과 근의 공식

수학노트
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개요




방정식의 근의 공식

  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]




거듭제곱근 체확장

  • 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
  • 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.




5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명



5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론



대수학의 표준적인 증명

  • 갈루아 이론을 사용하는 증명
  • \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
  • 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
  • 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
  • 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다


일반적인 n차 방정식

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
  • 방정식

\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]


메모


역사


관련된 항목들



수학용어번역

  • radical - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


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