3차 방정식의 근의 공식

수학노트
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개요

  • 삼차방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 의 근의 공식



카르다노의 해법

주어진 방정식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math>의 2차항을 없애기 위해, 치환 <math>x = t - a/3</math>을 사용한다.

새로운 방정식 <math>t^3 + pt + q = 0</math>을 얻는다. 여기서

<math>

p = b - \frac{a^2}3 \\q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} </math>

새로운 두 변수 <math>u,v</math>를 다음과 같이 도입하자

<math>

u + v = t \\ uv = -p/3 </math>

다음 두 식을 만족시킨다.

<math>u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \label{eq1}</math>
<math> 3uv+p=0</math>


식 \ref{eq1}의 양변에 <math>u^3</math>를 곱하여, 이로부터 <math>u</math>가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

<math>u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\label{eq2}</math>

이는 <math>u^3</math>에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

<math>u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>

한편, <math>v^3</math> 역시 방정식 \ref{eq2}의 해이므로, 다음을 얻는다.

<math>v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}</math>

따라서 <math>u, v</math>는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

<math>

\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\\ \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>

여기서 <math>\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i</math>.

이제 <math>uv = -p/3</math> 임을 이용하면 <math>u</math>에 의해 <math>v</math>의 값이 결정된다.

편의를 위해 <math>A,B</math>를 다음과 같이 두자.

<math>

A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \\B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math> <math>t=u+v</math>는 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

<math>

A+B\\ \omega A+\omega^2 B\\ \omega^2 A+\omega B </math>



<math>x^3-3x+1</math>의 예

  • 방정식 <math>x^3-3x+1=0</math> 을 생각하자.
  • <math>p=-3,q=1</math> 이므로,:<math>-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}</math>:<math>-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}</math>
  • <math>A=e^{2\pi i/9}</math>, <math>B=e^{-2\pi i/9}</math>, <math>\omega=e^{2\pi i /3}</math>
  • 방정식의 세 근은 <math>A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B</math> 는 <math>2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)</math> 가 된다.



<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 근의 공식

  • 세 근 <math>x_1,x_2,x_3</math>는 다음과 같이 표현된다
<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>


역사

  • 1545년 카르다노가 아르스 마그나》(Ars Magna) 를 출판
  • 수학사 연표



메모

<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>

<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



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메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'resolvent'}]
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