"부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">'''간단한 소개'''</h5>
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==개요==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>
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==리우빌의 정리==
  
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(정리 ) 리우빌, 1835
  
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(a) <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.
  
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(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.
  
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(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수
  
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
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(b)  <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.
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** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
  
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(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.
  
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(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
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==리우빌 정리의 특수한 경우==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
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(정리 ) 리우빌, 1835
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
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<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.
  
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(i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.
  
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[[수학사연표 (역사)|]]
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(ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">관련된 다른 주제들</h5>
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(증명)은 '''[Ritt48]'''
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*  노트
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** <math>F(x,y_1)=xy_1</math>, <math>y_1=e^{g(x)}</math> 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴:<math>y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1</math> 는 <math>x,y_1</math> 의 유리함수
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(따름정리)
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정수 n에 대하여 <math>\int x^{2n}e^{ax^2} dx</math> (<math>a\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.
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자연수 n에 대하여 <math>\int x^{-n}e^{cx} dx</math> (<math>c\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.
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==예==
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*  초등함수가 아닌경우:<math>\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx</math>
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+ln+x<math>\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x ]<math>\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>
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<math>\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt</math>, <math>t^2=x</math>
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<math>\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt</math>, <math>t=e^x</math>
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<math>\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\ln x</math>
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<math>\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx</math>
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<math>\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)</math>
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* '''[MAR94]''' 참고
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==체비셰프의 정리==
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(정리)
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유리수 <math>p,q,r\neq0</math>와 실수 <math>a,b</math>에 대하여, 다음 둘은 동치이다.
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(i)<math>\int x^p(a+bx)^q \,dx</math> 는 초등함수이다.
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(ii) <math>\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q</math> 중에 적어도 하나는 정수이다.
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==예==
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<math>\int \sqrt[3]{1+x^2}dx</math> 는 초등함수가 아니다.
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<math>f(x)=x^k</math> 의 그래프의 길이함수 <math>\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx</math> 는 <math>k=1</math> 또는 <math>k=1+\frac{1}{n}</math> 일 때만 초등함수이다.
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+sin+x
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* <math>\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u^2)^{-1/2}\,du</math> (<math>u=\sin x</math>) 는 초등함수가 아니다.
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+cos+x
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* <math>\int \sqrt{\cos x}\,dx</math> 는 초등함수가 아니다.
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* <math>\int \sqrt{\tan x}\,dx</math>는 초등함수이다. (<math>u^2=\tan x</math>)
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정수 <math>m,n</math>에 대하여, <math>\int (1-x^n)^{1/m}</math> 는 초등함수이다. <math>\iff</math> <math>m=\pm 1</math> 또는 <math>n=\pm 1</math> 또는 <math>m=n=2</math> 또는 <math>m=-n</math>
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<math>\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx</math> 는 모든 정수 <math>m,n</math>에 대하여 초등함수이다. 
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*  참고 '''[MAR94]'''
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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[[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[불가능성의 정리들]]
 
* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
 
* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
 
* [[5차방정식과 근의 공식|일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명]]
 
* [[5차방정식과 근의 공식|일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명]]
  
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==관련도서\==
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* [http://www.amazon.com/Galois-Dream-Theory-Differential-Equations/dp/0817636889/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1238914115&sr=1-1 Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations ]
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** Michio Kuga
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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* '''[Ritt48]'''Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
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** Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948
  
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* Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods<br>
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** Joseph Fels Ritt
 
  
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<h5>위키링크</h5>
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==위키링크==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==관련논문==
  
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* [http://www.jstor.org/stable/1995313 The Problem of Integration in Finite Terms]<br>
+
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
−
** Robert H. Risch, <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=tranamermathsoci Transactions of the American Mathematical Society]</cite>, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
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** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
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* [http://www.jstor.org/stable/2318066 Integration in Finite Terms]<br>
+
* [http://math.stanford.edu/%7Econrad/papers/finalint.pdf Integration in elementary terms]
−
** Maxwell Rosenlicht, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
+
** [http://math.stanford.edu/%7Econrad/ Brian Conrad], webpage
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* [http://www.springerlink.com/content/ww88811082545480/ From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms]
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** Jesper Lützen, NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin, Volume 2, Number 1 / 1994년 12월
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* '''[MAR94]'''[http://www.jstor.org/stable/2687614 An Invitation to Integration in Finite Terms]
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** Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri, <cite style="line-height: 2em;">The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
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* [http://www.jstor.org/stable/2689612 Integration in Finite Terms: The Liouville Theory]
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** Toni Kasper, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
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* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102866806 On Liouville's theory of elementary functions]
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** Maxwell Rosenlicht, <em style="">Pacific J. Math. Volume 65, Number 2 (1976), 485-492</em>
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* [http://www.jstor.org/stable/2318066 Integration in Finite Terms]
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** Maxwell Rosenlicht, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
 +
* [http://www.jstor.org/stable/1995313 The Problem of Integration in Finite Terms]
 +
** Robert H. Risch, <cite style="line-height: 2em;">[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=tranamermathsoci Transactions of the American Mathematical Society]</cite>, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
 +
* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102991609 Liouville's theorem on functions with elementary integrals]
 +
** Maxwell Rosenlicht, Pacific J. Math. Volume 24, Number 1 (1968), 153-161
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[[분류:적분]]
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2689612 Integration in Finite Terms: The Liouville Theory]<br>
+
==메타데이터==
−
** Toni Kasper, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
+
===위키데이터===
−
* [http://www.jstor.org/stable/2687614 An Invitation to Integration in Finite Terms]<br>
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2383624 Q2383624]
−
** Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://www.springerlink.com/content/ww88811082545480/ From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms]<br>
+
* [{'LOWER': 'differential'}, {'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]
−
** Jesper Lützen, NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin, Volume 2, Number 1 / 1994년 12월
 
−
* [http://math.stanford.edu/%7Econrad/papers/finalint.pdf Integration in elementary terms]<br>
 
−
** [http://math.stanford.edu/%7Econrad/ Brian Conrad]
 
−
* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]<br>
 
−
** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
 

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

개요

리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수이고, \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로서 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\) 여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 대수적함수

(b) \(F\)가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수이고, \(y_1,\cdots,y_m\) 는 \(x\)의 함수로서 \(\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}\) 가 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)\) 여기서 \(C_j\)는 상수이고, \(U_j\)는 \(x,y_1,\cdots,y_m\)의 유리함수



리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

\(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면, (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.


(증명)은 [Ritt48]

  • 노트
    • \(F(x,y_1)=xy_1\), \(y_1=e^{g(x)}\) 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴\[y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1\] 는 \(x,y_1\) 의 유리함수


(따름정리)

정수 n에 대하여 \(\int x^{2n}e^{ax^2} dx\) (\(a\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 \(\int x^{-n}e^{cx} dx\) (\(c\neq 0\))는 초등함수가 아니다.

예

\(\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt\), \(t^2=x\)

\(\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt\), \(t=e^x\)

\(\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\ln x\)

\(\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx\)

\(\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)\)

  • [MAR94] 참고



체비셰프의 정리

(정리)

유리수 \(p,q,r\neq0\)와 실수 \(a,b\)에 대하여, 다음 둘은 동치이다.


(i)\(\int x^p(a+bx)^q \,dx\) 는 초등함수이다.

(ii) \(\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q\) 중에 적어도 하나는 정수이다.



예

\(\int \sqrt[3]{1+x^2}dx\) 는 초등함수가 아니다. \(f(x)=x^k\) 의 그래프의 길이함수 \(\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx\) 는 \(k=1\) 또는 \(k=1+\frac{1}{n}\) 일 때만 초등함수이다.

정수 \(m,n\)에 대하여, \(\int (1-x^n)^{1/m}\) 는 초등함수이다. \(\iff\) \(m=\pm 1\) 또는 \(n=\pm 1\) 또는 \(m=n=2\) 또는 \(m=-n\)

\(\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx\) 는 모든 정수 \(m,n\)에 대하여 초등함수이다.

  • 참고 [MAR94]

역사



수학사 연표

관련된 항목들



관련도서\

  • [Ritt48]Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
    • Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948



위키링크



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'differential'}, {'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]
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