"분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)"의 두 판 사이의 차이

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* [[분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)|하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식]]<br>
 
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]의 근사공식<br>
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]의 근사공식
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* Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서
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The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around  or, p(n) itself is very roughly  . The first crude assesment of p(n)!  
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* 위의 글은 MacMahon이 분할수 <math>p(n)</math>의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
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'''함수의 크기'''
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*알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.
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:<math>p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
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함수의 정확한 값보다 그것의 대충의 크기를 알고 싶은 것이므로,'asymptotic'이라는 개념을 도입하자.
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* 위에서 얻은 근사공식은 <math>n=200</math>인 경우, 그 값이 <math>4.10025 \times 10^{12}</math>정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 <math>p(200)=3972999029388</math>이다.
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<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1</math>
 
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두 함수 f(x)와 g(x)가 위와 같은 조건을 만족할 때, 두 함수가 'asymptotic'이라고 하고, f(x)~g(x) 라고 표현한다. 이것의 의미는 x가 충분히 크다면, 두 함수의 행동이 비슷하다는 것을 뜻한다. 물론, 함수의 정확한 값은 차이가 날 수도 있지만, 눈을 크게 뜨고 멀리서 바라보면, 둘이 같다는 것이다. 가령 이라는 함수가 있다고 생각해 보자. x값이 작을 때야, 가 함수값에 꽤나 영향을 미치겠지만, x가 커지면 커질수록, 는 거대한 지수함수  앞에서 미미한 존재가 될 뿐이다. 즉 함수의 행동을 지배하는 것은 지수함수이다. 이러한 sense에서 asymptotic을 이해하자.
 
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정수에 관계된 함수의 큰 행동을 이해하는 것은 수학의 어렵고도 중요한 주제중의 하나이다.
 
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'''MacMahon의 경험'''
 
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| The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around  or, p(n) itself is very roughly  . The first crude assesment of p(n)!  
 
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Donald J.Newman 이 지은 'Analytic Number Theory'중에서
 
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| (생략)좀 떨어진 거리에서, 수의 끝부분은 포물선을 이룬다는 사실을 깨닫게 되었다!(생략)
 
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위에 써 있는 내용을 이해하는 것은 log 함수의 이해를 필요로 한다. p(n)가 쓰여진 길이는 그 것의 자릿수에 비례하는 것이고, 한편 log p(n) 값은 그 자릿수에 비례한다. p(n)의 자릿수가 대충 이라면 라는 얘기가 된다. (여기서 C는 적당한 상수) 너무 대충 하는 것이 아닌가 하는 생각이 들겠지만, 무언가를 발견한다는 것은 개연성 있는 직관이면 족한 것이다!<br> 그럼 이제 맥머흔 소령의 경험을 재현하자!
 
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다음 그림은 Partition Number를 1부터 200까지 아래로 죽 늘어뜨린 다음에 글씨체를 상당히 작게 한 것이다. 그 다음에 아래위를 뒤집었다.짜잔!!!
 
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<br> 당신의 눈에도 포물선이 보이는가?<br> 숫자같이 보이지 않겠지만
 
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요런 것을 글씨체를 작게 하면 저렇게 된다.<br> 위에서 얻은 그림을 가로로 좀 더 잡아 당겨서 다음 그림을 얻었다.
 
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<br> 정말로 꽤나 그럴듯한 포물선이다.<br> 이것으로 미루어 보아 맥머흔의 글씨체는 상당히 옆으로 퍼졌던 것이 아닌가 하는 생각을 해 본다.
 
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'''맥머흔의 관찰은 옳았던가?'''
 
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맥머흔의 이 매우 흥미로운 경험은 후대의 연구에 의하여, 틀린 것으로 판명되었다. 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.
 
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<math>p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math><br> 엄밀히 말해 맥머흔의 추론은 틀린 것이다. 그러나 맥머흔의 관찰이 의미없는 것은 아니다. 비록 정확하지는 못했지만 n이 상대적으로 작았다는 것을 고려한다면, 맥머흔의 경험은 공식에 그럴듯한 접근은 한 것이다. 또한 partition number에도 어떠한 규칙이 있을 가능성을 보였다는 점에서 충분히 의미가 있는 일일테니까.<br> 이제 위의 근사공식이 얼마나 그럴듯한 것인지를 확인하며 마무리를 하자.
 
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위에서 얻은 근사공식은 <math>n=200</math>인 경우, 그 값이 <math>4.10025 \times 10^{12}</math>정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 p(200)=3972999029388이므로, 공식이 정확히 맞지는 않아도, 꽤나 비슷하다는 것을 알 수 있을 것이다.
 
  
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==하디-라마누잔-라데마커 공식==
 
==하디-라마누잔-라데마커 공식==
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* <math>p(n)</math>에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)</math> 여기서 :<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}</math>이고 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]
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* <math>A_k(n)</math>은 일반화된 형태의 [[클루스터만 합]]으로 생각할 수 있다
  
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* <math>p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)</math><br> 여기서 <math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}</math>이고 <math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
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==첫번째 항의 크기==
 
  
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<math>K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}</math> 로 두자
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===첫번째 항의 크기===
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<math>K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}</math> 로 두자
  
 
<math>A_1(n)=1</math>
 
<math>A_1(n)=1</math>
  
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<math>\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \approx \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}</math> 로부터 <math>\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\approx \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}</math>
+
:<math>\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}</math>이고
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:<math>\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}</math>
  
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따라서 
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따라서
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:<math>p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
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<math>p(n) \approx \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math>
 
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==재미있는 사실==
 
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==역사==
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모==
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
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* [[데데킨트 에타함수]]<br>
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* [[데데킨트 에타함수]]
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* [[패리 수열(Farey series)]]<br>
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* [[패리 수열(Farey series)]]
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* [[클루스터만 합]]
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==수학용어번역==
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
 
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==사전 형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Ramanujan
 
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* http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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==관련논문==
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/
 
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[[분류:q-급수]]
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[[분류:분할수]]
  
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== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
  
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* Andrij Rovenchak, Statistical mechanics approach in the counting of integer partitions, http://arxiv.org/abs/1603.01049v1
  
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==블로그==
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q825176 Q825176]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': '1729'}]
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* [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:45 기준 최신판

개요

  • 분할수의 근사공식
  • Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서

The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around or, p(n) itself is very roughly . The first crude assesment of p(n)!

  • 위의 글은 MacMahon이 분할수 \(p(n)\)의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
  • 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.

\[p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

  • 위에서 얻은 근사공식은 \(n=200\)인 경우, 그 값이 \(4.10025 \times 10^{12}\)정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 \(p(200)=3972999029388\)이다.


하디-라마누잔-라데마커 공식

  • \(p(n)\)에 대하여 다음이 성립한다

\[p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\] 여기서 \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}\]이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합


첫번째 항의 크기

\(K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\) 로 두자

\(A_1(n)=1\)

\[\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}\]이고 \[\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}\]

따라서 \[p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

관련된 항목들



사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': '1729'}]
  • [{'LOWER': 'hardy'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'number'}]
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