"삼각함수에는 왜 공식이 많은가?"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">” 문자열을 “==” 문자열로)
 
(같은 사용자의 중간 판 8개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
  
−
*  사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수<br>
+
*  사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수
−
** <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>
+
:<math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>
−
*  단위원은 군의 구조를 가짐. ([[군론(group theory)]])<br>
+
*  단위원은 군의 구조를 가짐. ([[군론(group theory)]])
−
** <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>
+
:<math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>
 
* 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
 
* 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
 
* 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
 
* 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
16번째 줄: 16번째 줄:
  
 
삼각함수의 이론에 공식이 많은 이유는 딱 떨어지는 답을 하기는 어렵지만 핵심적인 하나의 단어는 '대칭성' 이라는 것이다.
 
삼각함수의 이론에 공식이 많은 이유는 딱 떨어지는 답을 하기는 어렵지만 핵심적인 하나의 단어는 '대칭성' 이라는 것이다.
−
 
−
 
−
 
−
 
  
 
==덧셈공식==
 
==덧셈공식==
29번째 줄: 25번째 줄:
 
==복소지수함수==
 
==복소지수함수==
  
−
*  삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 <math>f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math>의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>과 같다<br><math>e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )</math><br><math>e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)</math><br> 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다<br>
+
*  삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 <math>f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math>의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>과 같다:<math>e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )</math>:<math>e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)</math> 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다
 
* 복소지수함수의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math> 은 단위원에 군의 구조를 준다
 
* 복소지수함수의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math> 은 단위원에 군의 구조를 준다
 
* [[오일러의 공식]]  항목 참조
 
* [[오일러의 공식]]  항목 참조
40번째 줄: 36번째 줄:
  
 
* [[2차원 회전 변환]] 에서 가져옴
 
* [[2차원 회전 변환]] 에서 가져옴
−
*  평면에서 원점을 중심으로 각도 <math>\theta </math> 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다<br><math>\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}</math><br>
+
*  평면에서 원점을 중심으로 각도 <math>\theta </math> 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다:<math>\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}</math>
−
* <math>\theta_1</math>과 <math>\theta_2</math> 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, <math>\theta_1+\theta_2</math> 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다<br><math>\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}</math><br>
+
* <math>\theta_1</math>과 <math>\theta_2</math> 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, <math>\theta_1+\theta_2</math> 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다:<math>\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}</math>
 
* 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
 
* 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
 
* 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다
 
* 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다
54번째 줄: 50번째 줄:
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
−
 
 
* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
 
* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
−
* [[삼각함수의 일반화]]
 
 
* [[자코비 세타함수]]
 
* [[자코비 세타함수]]
 
* [[대수적 함수와 아벨적분]]
 
* [[대수적 함수와 아벨적분]]
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[삼각함수의 일반화]]
−
 
+
* [[공대수 (coalgebra)]]
 +
* [[수학사 연표]]
 
   
 
   
−
 
 
   
 
   
−
 
 
−
 
−
==수학용어번역==
 
−
 
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
−
 
+
==사전 형태의 자료==
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==사전 형태의 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
−
 
 
  
−
 
+
[[분류:삼각함수]]
−
 
 
−
==관련논문==
 
−
 
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==관련도서==
 
−
 
 
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
−
 
+
==메타데이터==
−
 
+
===위키데이터===
−
 
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q273008 Q273008]
−
 
+
===Spacy 패턴 목록===
−
 
+
* [{'LOWER': 'list'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'identity'}]
−
 
 
−
==블로그==
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
[[분류:삼각함수]]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판

개요

  • 사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수

\[\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\]

\[e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\]

  • 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
  • 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
  • 비슷한 예로 타원함수 또는 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음



삼각함수 챕터는 외울 것이 많기로 악명이 높다. '얼싸탄코' 부터 시작하여 '신프신은 두신코, 신마신은 두코신, 코프코는 두코코, 코마코는 마두신신, 신코는 반신프신, 코신은 반신마신, 코코는 반코프코, 신신은 마반코마코' 와 같은 삼각함수와 관련된 공식의 암기를 돕기 위한 말들이 참고서에까지 소개되곤 한다. 미국에서도 사인, 코사인, 탄젠트의 정의를 외우기 위해 SOHCAHTOA(소-카-토아)라는 말을 사용한다. 수학 교과서에서 페이지 당 공식의 밀도를 따져본다면, 아마 삼각함수가 가장 높은 자리를 차지하고 있을 것이다. 삼각함수에는 왜 이렇게 공식이 많을까?

삼각함수의 이론에 공식이 많은 이유는 딱 떨어지는 답을 하기는 어렵지만 핵심적인 하나의 단어는 '대칭성' 이라는 것이다.

덧셈공식

\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]

복소지수함수

  • 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다\[e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\]\[e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\] 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다
  • 복소지수함수의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\) 은 단위원에 군의 구조를 준다
  • 오일러의 공식 항목 참조



회전변환을 통한 이해

  • 2차원 회전 변환 에서 가져옴
  • 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다\[\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]
  • \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다\[\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\]
  • 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
  • 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다



타원함수의 경우

관련된 항목들


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'list'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'identity'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=삼각함수에는_왜_공식이_많은가%3F&oldid=52332"