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==고전 역학에서의 조화진동자==
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*  해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2</math>
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*  해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math>
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*  운동방정식:<math>\ddot{x}=-\omega^{2} x</math> 또는 :<math>\ddot{x}+\omega^{2} x=0</math>
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* 위치 연산자와 운동량 연산자
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* 해밀토니안
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* 사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math>
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* 교환자 관계식
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:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =  \hbar \omega a^\dagger</math>
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* 사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다
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==슈뢰딩거 방정식==
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* [[양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식]]
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==energy  eigenstates==
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* <math>\hbar=1</math> 이라 가정하자
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*  a harmonic oscillator that vibrates with frequency <math>\omega</math> can have energy <math>\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots</math>
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*  바닥 상태의 에너지
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* <math>E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu</math>라 두자
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* 분배함수
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Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}}
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
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* quartic anharmonic oscillator http://facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/RobertSmith-Final.pdf
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==관련된 항목들==
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* [[행렬 역학]]
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* [[양자 바일 대수와 양자평면]]
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* [[하이젠베르크 군과 대수]]
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* [[Ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit
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* http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
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* [http://www.varioustopics.com/math-symbolic/519091-computations-with-non-commuting-variables.html Math - Symbolic Science Computations with non-commuting variables ]
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==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%96%91%EC%9E%90%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
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==관련논문==
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* Quesne, C. “Addendum to An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” arXiv:1508.02221 [math-Ph, Physics:nlin, Physics:physics, Physics:quant-Ph], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02221.
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* Quesne, C. “An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” Physics Letters A 379, no. 26–27 (August 2015): 1589–93. doi:10.1016/j.physleta.2015.04.011.
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[[분류:양자역학]]
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[[분류:수리물리학]]
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[[분류:리군과 리대수]]
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[[분류:적분가능모형]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q677864 Q677864]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'quantum'}, {'LOWER': 'harmonic'}, {'LEMMA': 'oscillator'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:52 기준 최신판

개요

고전 역학에서의 조화진동자

  • 고전 단순 조화 진동자
  • 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
  • 운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]



양자조화진동자

  • 위치 연산자와 운동량 연산자

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]

  • 해밀토니안

\[\hat H= \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]

  • 사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
  • 교환자 관계식

\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

  • 사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]


슈뢰딩거 방정식


energy eigenstates

  • \(\hbar=1\) 이라 가정하자
  • a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
  • 바닥 상태의 에너지
    • lowest energy state
    • \(\omega/2\)
  • \(E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu\)라 두자
  • 분배함수

\[ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} \]

역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


관련논문

  • Quesne, C. “Addendum to An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” arXiv:1508.02221 [math-Ph, Physics:nlin, Physics:physics, Physics:quant-Ph], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02221.
  • Quesne, C. “An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” Physics Letters A 379, no. 26–27 (August 2015): 1589–93. doi:10.1016/j.physleta.2015.04.011.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'quantum'}, {'LOWER': 'harmonic'}, {'LEMMA': 'oscillator'}]
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