"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 21:17 기준 최신판

개요

\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
유리함수의 부정적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

오일러 치환

제1오일러 치환

\(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t-x\]\[x=\frac{4+t^2}{2t}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]

제2오일러 치환

\(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
예\[\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\]\[\sqrt{1-x^2}=xt+1\]\[x=\frac{2t}{t^2+1}\]\[\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\]

제3오일러 치환

\(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\]\[x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]

타원적분

유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분\[\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\] 단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
타원적분

"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 21:17 기준 최신판

목차

개요

오일러 치환

제1오일러 치환

제2오일러 치환

제3오일러 치환

타원적분

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-<math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수라고 가정
+==개요==
+* <math>R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})</math>형태의 적분을 '''유리함수의 적분'''으로 바꾸는 변수치환 <math>x=x(t)</math>
+*  [[유리함수의 부정적분]]은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
+* [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]]<math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math>로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
+* [[삼각치환]]이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
+* [[타원적분]]론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다
-<math>R(\cos x, \sin x)</math>의 적분
+==오일러 치환==
-*  다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tan \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}</math>, <math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math><br><math>\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt</math><br>
+===제1오일러 치환===
+* <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환
+*  예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math>:<math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math>
-<math>R(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분
-*   <br> 다음과 같은 치환적분을 사용<br><math>t=\tanh \frac{x}{2}</math>, <math>\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}</math>, <math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}</math>, <math>\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}</math><br><math>\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt</math><br>  <br>
+===제2오일러 치환===
+* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환
+*  예:<math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math>:<math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math>:<math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math>
-<math>R(x,\sqrt{1-x^2})</math>의 적분
-* <math>x=\cos u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cos x, \sin x)</math> 의 적분으로 변화
+===제3오일러 치환===
-<math>R(x,\sqrt{x^2-1})</math>의 적분
+* <math>ax^2+bx+c=0</math>가 두 실근u,v를 가질때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)</math>로 치환
+*  예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math>:<math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math>
-* <math>x=\cosh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
-<math>R(x,\sqrt{x^2+1})</math>의 적분
+==타원적분==
-* <math>x=\sinh u</math> 치환을 사용하면, <math>R'(\cosh x, \sinh x)</math>의 적분으로 변화
+*  유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})</math> 의 부정적분:<math>\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx</math> 단, <math>x^3+ax^2+bx+c</math>는 서로 다른 해를 가짐
+*  곡선 <math>y^2=x^3+ax^2+bx+c</math>는 위에서처럼 적당한 유리함수 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
+* [[타원적분]]
-<math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math>
-<math>ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}</math>
-<math>ac-b^2</math>와 <math>a</math>의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.
-이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다.
+==역사==
-중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.
+* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
+* [[수학사 연표]]
+*
- <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다.
-즉, <math>y^2=ax^2+bx+c</math> 라는 곡선을, 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 있기 때문이다.
+==메모==
-그러면
+* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/02/04/982 미적분학은 사소하지 않다]
+* [http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm]
+* [http://pauli.uni-muenster.de/%7Emunsteg/arnold.html http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html]
+* [http://math.kongju.ac.kr/calculus/data/chap5/s3/s3.htm 삼각치환]
-*  일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름<br>
+==관련된 항목들==
-** [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20R%28x,y%29dx ]
-** 여기서 R은 x,y의 유리함수이고, y^2 = x의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
-*  예를 들자면,<br>
-** [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E4%7D%7D%7D ]
-** [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%281-x%5E2%29%281-k%5E2x%5E2%29%7D%7D ]
+* [[25 미적분학|미적분학]]
+* [[삼각치환]]
+* [[피타고라스 쌍(Pythagorean triple)|피타고라스 쌍]]
+* [[오일러(1707-1783)]]
+* [[타원적분]]
+* [[이차곡선(원뿔곡선)]]
+==사전 형태의 자료==
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+* http://en.wikipedia.org/wiki/
+* http://planetmath.org/encyclopedia/EulersSubstitutionsForIntegration.html
-이번 학기에는 미적분학 조교를 하고 있다. 요며칠간 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. 가르칠 때 말고서야, 쓸 일이 거의 없는 것이지만 그래도 이런 기술들이 작동하는 것을 보면 여전히 신기하다. 미적분학 시간에야 아이들한테 책에 나오는 기술들 가르쳐주고, 사용방법 보여주기도 빠듯하지만,
-삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
-오일러의 적분정리<br>
+==관련도서==
+* Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons.
-임의의 2변수 유리함수 <math>R(x,y)</math> 에 대하여, <math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math> 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
+[[분류:적분]]
+[[분류:미적분학]]
-이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
-위의 정리가 적용되는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math> 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
-무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!
-* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br>
-[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/14/688 드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장] 에서도 다음과 같은 말을 써놓았었는데, 이것은 미적분학을 배우는 1학년들에게도 적용되는 말이다.
-<blockquote style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 38px; background-image: ; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;">
-잠시 여담이 지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.
-</blockquote>
-바로 이런 지점들이 꼬맹이들을 눈부신 수학의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간인데, 그냥 기교적으로만 보이는 적분의 기술을 가르치는 시간에도 이러한 기회들은 분명히 존재한다. 좋은 선생은 이런 순간들을 절대로 놓쳐서는 안된다. 단순한 기교 너머에 심오하고 휘황찬란한 세계가 존재하고 있음을 알려줘야 하는 것이다.
-수학문명을 건설하기 위해서는 많은 사람이 필요하고, 이를 위해서는 수많은 수학 교사와 수학 교수들이 합심하여 사람을 잘 키우고 수학을 제대로 잘 가르치는 일에 많은 신경을 써야하는데, 장차 이를 어찌 해나갈 것인가 생각하면 ... 이 역시 정치개혁만큼이나 깜깜한 듯 하다.
-지금은 연습문제 풀어주기 바쁜 조교이기 때문에, 이러한 것들을 언급할 때는 아니지만, 그래도
-삼각치환은 왜 작동하는가?
-[http://math.kongju.ac.kr/calculus/data/chap5/s3/s3.htm 삼각치환]
-<math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 <math>t</math>에 대한 유리함수로 매개화하는 것이 가장 중요한 아이디어이다.
-<math>y-y_0 = t(x-x_0)</math> passing through a point  <math>(x_0,y_0)</math>
-In the case when , that is, when [http://eom.springer.de/e/e036590.htm#e036590_00m2 (2)] is a hyperbola, the first Euler substitution is obtained by taking <math>(x_0,y_0)</math> as one of the points at infinity defined by the directions of the asymptotes of this hyperbola;
-when the roots   and  of the quadratic polynomial <math>ax^2+bx+c</math> are real, the second Euler substitution is obtained by taking as <math>(x_0,y_0)</math> one of the points  or ;
-finally, when , the third Euler substitution is obtained by taking as <math>(x_0,y_0)</math> one of the points where the curve [http://eom.springer.de/e/e036590.htm#e036590_00m2 (2)] intersects the ordinate axis, that is, one of the points .
-http://www.integral-table.com/
-http://books.google.com/books?id=E2IhMXPZMNIC&pg=PR8&lpg=PR8&dq=functions+with+elementary+integral+Analysis+by+Its+History&source=bl&ots=7GRnB0mT8k&sig=jpLHMzhVvPUFDTvIhCYojZWTYNo&hl=ko&ei=VU2HSuu2FpTOsQPMwInbAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3#v=onepage&q=&f=false
-<math>\int \sqrt{x^2+1}\,dx</math>
-http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm
-http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
-*
-*
-*
- multiply out.
-Since we can factor the polynomial and one root is 2, we can also use the 3. Euler substitution:
-'''Euler substitutions'''
-Substitutions of the variable  in an integral
-{| class="eq" style="line-height: 2em; width: 1322px; margin-top: 1px; margin-right: 0px; margin-bottom: 1px; margin-left: 0px; border-collapse: collapse; font-size: 1em; background-color: rgb(255, 255, 255);"
-|-
-|
-|
-|}
-where  is a rational function of its arguments, that reduce [http://eom.springer.de/e/e036590.htm#e036590_00m1 (1)] to the integral of a rational function. There are three types of such substitutions.
-The first Euler substitution: If , then
-{| class="eq" style="line-height: 2em; width: 1322px; margin-top: 1px; margin-right: 0px; margin-bottom: 1px; margin-left: 0px; border-collapse: collapse; font-size: 1em; background-color: rgb(255, 255, 255);"
-|-
-|
-|}
-The second Euler substitution: If the roots  and  of the quadratic polynomial  are real, then
-{| class="eq" style="line-height: 2em; width: 1322px; margin-top: 1px; margin-right: 0px; margin-bottom: 1px; margin-left: 0px; border-collapse: collapse; font-size: 1em; background-color: rgb(255, 255, 255);"
-|-
-|
-|}
-The third Euler substitution: If , then
-{| class="eq" style="line-height: 2em; width: 1322px; margin-top: 1px; margin-right: 0px; margin-bottom: 1px; margin-left: 0px; border-collapse: collapse; font-size: 1em; background-color: rgb(255, 255, 255);"
-|-
-|
-|}
-(Any combination of signs may be chosen on the right-hand side in each case.) All the Euler substitutions allow both the original variable of integration  and  to be expressed rationally in terms of the new variable .
-The first two Euler substitutions permit the reduction of [http://eom.springer.de/e/e036590.htm#e036590_00m1 (1)] to the integral of a rational function over any interval on which  takes only real values.