유리함수의 부정적분
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예
\(1/(1+x^4)\)의 부정적분
- 부분 분수로 분해하면 다음을 얻는다 \[\frac{1}{1+x^4}=-\frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)}+\frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)}\]
- 부분 분수 분해에 등장하는 유리함수의 부정적분은 다음과 같다
\[\int \frac{x-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)}{4 \sqrt{2}} \] \[\int \frac{x+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)} \, dx= \frac{\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}\]
- 따라서 \[\int \frac{1}{1+x^4} \, dx=\frac{-\log \left(x^2-\sqrt{2} x+1\right)+\log \left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)-2 \tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2} x\right)+2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{2} x+1\right)}{4 \sqrt{2}}\]