바이어슈트라스 치환

수학노트
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개요

  • \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수라고 가정
  • \(R(\cos x, \sin x)\)의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸기 위해 바이어슈트라스 치환을 사용한다\[t=\tan \frac{x}{2}\]

 

 

바이어슈트라스 치환

  • 다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)\[t=\tan \frac{x}{2}\], \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\), \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)\[\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt\]

 

 

쌍곡함수의 바이어슈트라스 치환

  • \(R(\cosh x, \sinh x)\)의 적분에 응용할 수 있다
  • 다음과 같은 치환적분을 사용\[t=\tanh \frac{x}{2}\], \(\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\), \(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\), \(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)\[\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt\]

 

 

 

 

 

 

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