"원의 방정식"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
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* 원의 방정식
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* 원은 평면에서 주어진 한 점으로부터 거리가 같은 모든 점들의 집합으로 정의된다
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** 표준형 <math>r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}</math>
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* 2차원 좌표 평면 상에서 이를 점 <math>(x,y)</math>가 만족시키는 방정식으로 표현할 수 있으며, 이를 원의 방정식이라 한다
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** 일반형 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math>
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* 다음과 같은 두 가지 형태로 표현된다
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** 표준형 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math> 이 때, <math>r>0</math>
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** 일반형 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math> 이 때, <math>{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}>0</math>
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* [[이차곡선(원뿔곡선)]]의 예이며, [[타원]]의 특별한 경우에 해당
  
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==원의 방정식==
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===표준형===
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원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 <math>O(a,b)</math>와 <math>P(x,y)</math>가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다
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:<math>\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r</math>
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이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다.
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:<math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math>
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위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다.
  
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'''쉽게 보는 원의 방정식 증명'''
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===일반형===
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이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math>에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다.
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:<math>x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}</math>
  
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원의 방정식은 쉽게 생가해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면다.
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우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..
  
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그렇게 하면
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:<math>x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0</math>
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요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.
  
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앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자.
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먼저 <math>A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}</math>로 치환을 해보자.
  
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그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다
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:<math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math>
  
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먼저 임의의 점 O(a,b)와 P(x,y)가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자.
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우리는 이 식을 원의 방정식의 일반형이라고 부른다.
  
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그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 이런<math>r=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} </math>식이 나온다.
 
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자 이제 조금만 머리를 쓰면 된다.ㅎㅎ
 
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양 변을 한번 제곱해보자.. <math>r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}</math>그럼 이런 식이 나온다...
 
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끝이다... 아마 언놈은 허탈감에 빠질수도있고.. 또 언넘은 넘쉬워 기쁠수도 있을것이다..
 
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하지만 이건 아주 기초적인 것이니 둘다 착각하지말기 바란다.. 안그럼 나처럼 되니..
 
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일단 위의식을 원을 방정식의표준형이라고한다.. 그럼 눈치 빠른넘은 아마 이런 질문을 할것이다.. "그럼 일반형은 뭔가요?"
 
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이제부터 일반형을 찾아보도록하자..
 
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일단 표준형<math>r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}</math>을 찬찬히 보면 답이 나오지 않는다... 그냥 무식하게 풀면 일반형이 나온다.
 
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표준형에서 우변을 모두 계산해서 풀어 해치면 <math>r^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}</math>이런식이 나온다..
 
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그럼 보기 불편하니 우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..
 
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그렇게 하면 <math>x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0</math>요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.
 
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먼저 -2a=A로 -2b=B  <math>a^{2}+b^{2}-r^{2}</math>=C로 치환을 해보자..
 
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그럼 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math>요렇게 아까보다 훨씬 깔끔한 식이 도출된다..
 
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우리는 이 식을 원의 방정식의일반형이라고 부른다.
 
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일반형과 표준형은 문제에 따라 유동적으로 사용해야하니 꼭 알아두도록 하자....
 
  
 
==응용하기==
 
==응용하기==
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===단위원의 방정식===
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이제 증명도 해봤으니 원을 방정식을 좀더 파 해쳐 보자 ㅎㅎ
 
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먼저 표준형에서 '''원의 중심'''이 원점이고 '''반지름의 길이'''가 r일경우
 
먼저 표준형에서 '''원의 중심'''이 원점이고 '''반지름의 길이'''가 r일경우
  
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원의 방정식은 <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math>요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 은근히 도움된다 ㅎㅎ
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원의 방정식은 <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math>요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다
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다음으로 일반형에서 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math>
 
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식의 '''원의 중심 좌표'''를 구하라하면
 
  
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<math>(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})</math>이렇게 표현할수 있다.
 
  
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===일반형에서 표준형을 구하기===
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다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math> 에서 원의 중심은 다음과 같다
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:<math>(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})</math>
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그리고 이 때 '''반지름의 길이'''는 다음과 같이 표현 할수 있다
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:<math>r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.</math>
  
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그리고 '''반지름의 길이'''는
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[[완전제곱식 만들기]] 항목 참조
  
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<math>r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}</math>요렇게 표현 할수 있다.. ㅎㅎ
 
  
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아마도 응용하기는 자신이 직접 증명해보는것이 가장 효과적인 것일 것이다..
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==메모==
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* [http://www.uwgb.edu/dutchs/mathalgo/CIRCSPH.HTM Circles and Spheres]
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* [http://mysite.verizon.net/res148h4j/zenosamples/zs_sphere4pts.htmlCenter and Radius of a Sphere from Four Points]
  
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==역사==
 
==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
 
* 1637 - 데카르트가 방법서설을 출판
 
* 1637 - 데카르트가 방법서설을 출판
  
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==관련된 다른 주제들==
 
  
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* [[원주율(파이,π)|파이]]
 
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* [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]]
 
  
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==관련된 항목들==
  
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==수학용어번역==
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* [[원주율(파이,π)]]
 +
* [[원주율과 적분]]
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* [[이차곡선(원뿔곡선)]]
 +
* [[완전제곱식 만들기]]
 +
* [[N차원 구면의 매개화]]
  
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMXB1T1RtVkpoZ3M/edit
 +
* http://mathematica.stackexchange.com/questions/20051/how-do-i-write-this-equation-in-the-form-x-a2-y-b2-z-c2-d-0
 
   
 
   
  
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==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/원]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/원]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/circle
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/circle
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=circle
+
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
 
[[분류:곡선]]
 
[[분류:곡선]]
 +
[[분류:고교수학]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q17278 Q17278]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LEMMA': 'circle'}]
 +
* [{'LEMMA': '⭕'}]
 +
* [{'LEMMA': '⚪'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

  • 원은 평면에서 주어진 한 점으로부터 거리가 같은 모든 점들의 집합으로 정의된다
  • 2차원 좌표 평면 상에서 이를 점 \((x,y)\)가 만족시키는 방정식으로 표현할 수 있으며, 이를 원의 방정식이라 한다
  • 다음과 같은 두 가지 형태로 표현된다
    • 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\) 이 때, \(r>0\)
    • 일반형 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 이 때, \({A^{2}}+{B^{2}}-{4C}>0\)
  • 이차곡선(원뿔곡선)의 예이며, 타원의 특별한 경우에 해당


원의 방정식

표준형

원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 \(O(a,b)\)와 \(P(x,y)\)가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다 \[\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\] 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다. \[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\] 위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다.

일반형

이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다. \[x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}\]

우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..

그렇게 하면 \[x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\] 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.

먼저 \(A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}\)로 치환을 해보자.

그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다 \[x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\]

우리는 이 식을 원의 방정식의 일반형이라고 부른다.


응용하기

단위원의 방정식

먼저 표준형에서 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r일경우

원의 방정식은 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다


일반형에서 표준형을 구하기

다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 에서 원의 중심은 다음과 같다 \[(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\] 그리고 이 때 반지름의 길이는 다음과 같이 표현 할수 있다 \[r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.\]

완전제곱식 만들기 항목 참조


메모


역사


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'circle'}]
  • [{'LEMMA': '⭕'}]
  • [{'LEMMA': '⚪'}]
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