"유한생성 아벨군의 기본정리"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 28개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | < | + | ==개요== |
| + | * <math>G</math>가 유한생성 아벨군이면, 다음을 만족하는 <math>r,u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>와 자연수 <math>d_1|d_2|\cdots |d_u</math>, <math>d_1>1</math>를 찾을 수 있으며, 이는 유일하게 결정된다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | G\cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}_{d_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{d_u}, | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| − | + | ==유한 아벨군== | |
| + | * [[완전잉여계와 기약잉여계]] | ||
| + | * 1부터 n까지의 양의 정수들은 덧셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸 | ||
| + | ** 이 군을 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> 로 표현함 | ||
| + | * 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸 | ||
| + | ** 이 군을 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 로 표현함 | ||
| − | |||
| − | < | + | ==예== |
| + | * <math>x_1,x_2\cdots,x_5</math> 다섯 개의 원소로 생성되는 유한 아벨군 <math>G</math>가 다음과 같은 관계식을 만족하는 경우를 생각하자 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left\{ | ||
| + | \begin{array}{c} | ||
| + | x_1-5 x_2+10 x_4-15 x_5=0 \\ | ||
| + | 4 x_2-8 x_4+12 x_5=0 \\ | ||
| + | 3 x_1-3 x_2-2 x_3+6 x_4-9 x_5=0 \\ | ||
| + | x_1-x_2+2 x_4-3 x_5=0 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right. \label{rels} | ||
| + | </math> | ||
| + | * 다음과 같이 정의된 <math>y_1,\cdots, y_5\in G</math> 역시 <math>G</math>의 생성원이 된다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{aligned} | ||
| + | \begin{array}{c} | ||
| + | x_1&=&y_1+5 y_3 \\ | ||
| + | x_2&=&y_3+2 y_4-3 y_5 \\ | ||
| + | x_3&=&y_2 \\ | ||
| + | x_4&=&y_4 \\ | ||
| + | x_5&=&y_5 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \end{aligned} | ||
| + | </math> | ||
| + | * <math>y_1,\cdots,y_5</math>는 다음을 만족한다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left\{ | ||
| + | \begin{array}{c} | ||
| + | y_1=0 \\ | ||
| + | 2y_2=0 \\ | ||
| + | 4y_3=0 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right. | ||
| + | </math> | ||
| + | * 따라서 아벨군의 구조는 다음과 같다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | G\cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \label{Gstr} | ||
| + | </math> | ||
| + | ====스미스 표준형을 통한 이해==== | ||
| + | * 관계식 \ref{rels}에 대한 행렬은 다음과 같이 쓰여진다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left( | ||
| + | \begin{array}{ccccc} | ||
| + | 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ | ||
| + | 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ | ||
| + | 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ | ||
| + | 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right) | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이 행렬의 [[스미스 표준형 (Smith normal form)]]은 다음과 같이 주어진다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left( | ||
| + | \begin{array}{ccccc} | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right) | ||
| + | =\left( | ||
| + | \begin{array}{cccc} | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 3 & 3 & -1 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0 \\ | ||
| + | -1 & -1 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right).\left( | ||
| + | \begin{array}{ccccc} | ||
| + | 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ | ||
| + | 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ | ||
| + | 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ | ||
| + | 1 & -1 & 0 & 2 & -3 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right).\left( | ||
| + | \begin{array}{ccccc} | ||
| + | 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 2 & -3 \\ | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right) | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이로부터 다시 \ref{Gstr}을 확인할 수 있다 | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| + | * <math>G_{\operatorname{Tor}}</math> | ||
| + | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | ==관련된 항목들== | ||
| + | * [[아벨군]] | ||
| + | * [[순환군]] | ||
| + | * [[스미스 표준형 (Smith normal form)]] | ||
* [[타원곡선]] | * [[타원곡선]] | ||
| − | * [[ | + | * [[오일러의 totient 함수]] |
| − | |||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNnBSUVV2NS1JRlE/edit | ||
| + | * http://demonstrations.wolfram.com/TheFundamentalTheoremOfFiniteAbelianGroups/ | ||
| − | |||
| − | + | ==관련도서== | |
| − | + | * Norman, Christopher. 2012. [http://www.amazon.com/Finitely-Generated-Similarity-Undergraduate-Mathematics/dp/1447127293 Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field], Springer. | |
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | |||
| − | |||
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups | * http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups | ||
| − | + | [[분류:군론]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 11월 14일 (토) 10:52 기준 최신판
개요
- \(G\)가 유한생성 아벨군이면, 다음을 만족하는 \(r,u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)와 자연수 \(d_1|d_2|\cdots |d_u\), \(d_1>1\)를 찾을 수 있으며, 이는 유일하게 결정된다
\[ G\cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}_{d_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{d_u}, \]
유한 아벨군
- 완전잉여계와 기약잉여계
- 1부터 n까지의 양의 정수들은 덧셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 로 표현함
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현함
예
- \(x_1,x_2\cdots,x_5\) 다섯 개의 원소로 생성되는 유한 아벨군 \(G\)가 다음과 같은 관계식을 만족하는 경우를 생각하자
\[ \left\{ \begin{array}{c} x_1-5 x_2+10 x_4-15 x_5=0 \\ 4 x_2-8 x_4+12 x_5=0 \\ 3 x_1-3 x_2-2 x_3+6 x_4-9 x_5=0 \\ x_1-x_2+2 x_4-3 x_5=0 \\ \end{array} \right. \label{rels} \]
- 다음과 같이 정의된 \(y_1,\cdots, y_5\in G\) 역시 \(G\)의 생성원이 된다
\[ \begin{aligned} \begin{array}{c} x_1&=&y_1+5 y_3 \\ x_2&=&y_3+2 y_4-3 y_5 \\ x_3&=&y_2 \\ x_4&=&y_4 \\ x_5&=&y_5 \\ \end{array} \end{aligned} \]
- \(y_1,\cdots,y_5\)는 다음을 만족한다
\[ \left\{ \begin{array}{c} y_1=0 \\ 2y_2=0 \\ 4y_3=0 \end{array} \right. \]
- 따라서 아벨군의 구조는 다음과 같다
\[ G\cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \label{Gstr} \]
스미스 표준형을 통한 이해
- 관계식 \ref{rels}에 대한 행렬은 다음과 같이 쓰여진다
\[ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ \end{array} \right) \]
- 이 행렬의 스미스 표준형 (Smith normal form)은 다음과 같이 주어진다
\[ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right).\left( \begin{array}{ccccc} 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \end{array} \right).\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]
- 이로부터 다시 \ref{Gstr}을 확인할 수 있다
역사
메모
- \(G_{\operatorname{Tor}}\)
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNnBSUVV2NS1JRlE/edit
- http://demonstrations.wolfram.com/TheFundamentalTheoremOfFiniteAbelianGroups/
관련도서
- Norman, Christopher. 2012. Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field, Springer.