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==개요==
  
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* 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
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* [[타원곡선]] <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
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* 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, [[버치와 스위너톤-다이어 추측]]에 의존하고 있다  '''[Tunnell1983]'''
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==타원곡선과의 관계==
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;정리
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자연수 <math>n</math> 은 합동수이다
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<math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 이 <math>y\neq0</math>인 유리해를 갖는다.
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<math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이다.
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직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 <math>n</math> 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다.
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:<math> \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. </math>
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다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.
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:<math>(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2</math>
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<math>u=\frac{c}{2}</math>, <math>v=\frac{a^2-b^2}{4}</math> 로 두자.
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디오판투스 방정식 <math>u^4-n^2=v^2</math> 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.
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<math>u^4-n^2=v^2</math>에서 <math>u^6-n^2u^2=u^2v^2</math> 를 얻은 뒤, <math>x=u^2</math>, <math>y=uv</math> 로 두면, 타원곡선의 방정식 <math>y^2=x^3-n^2x</math>을 얻는다.
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따라서 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해를 얻는다.
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그러면 역으로 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
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<math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 에 대하여
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<math>a=|\frac{n^2-x^2}{y}|</math>, <math>b=|\frac{2nx}{y}|</math>, <math>c=|\frac{n^2+x^2}{y}|</math>
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로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.
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한편 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 torsion은 <math>\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}</math> 뿐이므로, <math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 의 존재는 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■
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==예==
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===n=1인 경우===
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* n=1은 합동수가 아니다
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* [http://books.google.com/books?id=lJxOgVcHBlkC&pg=PA54&lpg=PA54&dq=infinite+descent+fermat+congruent+number&source=bl&ots=NZoJGuIQ55&sig=HU8Y2s5MU004XJTwxTQ1eGwqr54&hl=ko&sa=X&ei=vbMYT_p5pI6KApm64e0K&ved=0CEkQ6AEwBA#v=onepage&q=infinite%20descent%20fermat%20congruent%20number&f=false 페르마 infinite descent]
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*  타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 유리수해는 다음과 같다:<math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} </math>
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* 따라서 n=1은 합동수가 아니다
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* [[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]] 항목 참조
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===n=5인 경우===
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*  5는 합동수이다
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**  세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
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** <math>\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}</math>
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** 5는 가장 작은 합동수이다
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===n=6인 경우===
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*  6은 합동수이다
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* 타원곡선 <math>y^2=x^3-36x</math>의 정수해는 <math>(x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다
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* [[사각 피라미드 퍼즐]] 항목 참조
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==목록==
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*  5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84 ...
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273] 참조
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==메모==
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* http://modular.math.washington.edu/edu/2007/spring/ent/ent-html/node92.html
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[사각 피라미드 퍼즐]]
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* [[타원곡선]]
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* [[피타고라스 쌍(Pythagorean triple)]]
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==수학용어번역==
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* {{수학용어집|url=congruent}}
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/congruent_number
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==계산 리소스==
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=congruent+number http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=congruent+number]
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** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273]
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==관련논문==
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* Alexander Smith, The congruent numbers have positive natural density, arXiv:1603.08479[math.NT], March 28 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08479v1
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* Izadi, Farzali, Foad Khoshnam, and Dustin Moody. “Heron Quadrilaterals via Elliptic Curves.” arXiv:1512.03913 [math], December 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03913.
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* Wang, Zhangjie.“Congruent Elliptic Curves with Non-Trivial Shafarevich-Tate Groups: Distribution Part.” arXiv:1511.03813 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03813.
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* Wang, Zhangjie. “Congruent Elliptic Curves with Non-Trivial Shafarevich-Tate Groups.” arXiv:1511.03810 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03810.
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* Prástaro, Agostino. “The Congruent Number Problem and the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture.” arXiv:1504.07507 [math], April 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07507.
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* [http://www.springerlink.com/content/t759717058h50002/ Mock heegner points and congruent numbers] Paul Monsky, Mathematische Zeitschrift, Volume 204, Number 1 / 1990년 12월
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* '''[Tunnell1983]'''[http://dx.doi.org/10.1007/BF01389327 A classical diophantine problem and modular forms] Tunnell, J.B., Invent. Math.72, 323–334 (1983)
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* [http://www.jstor.org/stable/2320381 The Congruent Number Problem] Ronald Alter, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 1 (Jan., 1980), pp. 43-45
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==관련도서==
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* Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers Volume II
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**  Chapter XVI
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[[분류:디오판투스 방정식]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q325978 Q325978]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'congruent'}, {'LEMMA': 'number'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판

개요

  • 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
  • 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, 버치와 스위너톤-다이어 추측에 의존하고 있다 [Tunnell1983]



타원곡선과의 관계

정리

자연수 \(n\) 은 합동수이다 

\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.
증명

직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다. \[ \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. \]

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다. \[(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\]

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 타원곡선의 방정식 \(y^2=x^3-n^2x\)을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

한편 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\) 뿐이므로, \(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 의 존재는 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■


예

n=1인 경우

  • n=1은 합동수가 아니다
  • 페르마 infinite descent
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다\[E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \]
  • 따라서 n=1은 합동수가 아니다
  • 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조


n=5인 경우

  • 5는 합동수이다
    • 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
    • \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
    • 5는 가장 작은 합동수이다


n=6인 경우

  • 6은 합동수이다
  • 타원곡선 \(y^2=x^3-36x\)의 정수해는 \((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다
  • 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조


목록



메모



역사



관련된 항목들



수학용어번역


사전 형태의 자료



계산 리소스



관련논문



관련도서

  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers Volume II
    • Chapter XVI

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'congruent'}, {'LEMMA': 'number'}]
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